Area del triangolo con formula di Erone
I lati 3, 4 e 5 danno un semiperimetro di 6 e un’area di 6. Inserisca tre lunghezze, senza angoli né altezza, e ottenga area e perimetro, oppure un avviso chiaro se i lati non possono formare un triangolo. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 3
- B
- 4
- C
- 5
- Perimetro
- 12
- Semiperimetro
- 6
- Area
- 6
Quando Lei conosce solo le tre lunghezze dei lati di un triangolo e nessuno degli angoli o dell'altezza, la formula di Erone è la forma chiusa standard che restituisce comunque l'area. I topografi misurano a passi i tre bordi di un lotto triangolare; gli studenti ricevono esercizi LLL senza altitudine disegnata; le pipeline CAD e di gioco memorizzano facce di mesh come tre lunghezze di spigolo senza una coppia base-altezza. Questa capacità verifica che i lati formino un triangolo non degenere, costruisce il semiperimetro come metà del perimetro e restituisce la radice quadrata positiva di s per ciascun (s meno lato).
Cosa calcola la formula di Erone e perché conta la disuguaglianza triangolare
La formula di Erone (detta anche formula di Hero) calcola l'area di qualsiasi triangolo non degenere a partire solo dalle tre lunghezze dei lati. Etichetti i lati a, b e c. Formi prima il semiperimetro s come (a più b più c) diviso due.
L'area è quindi la radice quadrata positiva del prodotto s per (s meno a) per (s meno b) per (s meno c). Quel prodotto sotto il radicale è zero esattamente quando le tre lunghezze sono collineari — quando un lato è uguale alla somma degli altri due — quindi si richiede una disuguaglianza triangolare stretta: a più b deve superare c, a più c deve superare b, e b più c deve superare a.
Un controllo intero classico è il triangolo rettangolo tre-quattro-cinque: perimetro dodici, semiperimetro sei e area sei, che coincide con la metà della base tre per l'altezza quattro. Un triangolo equilatero con lati uguali a cinque produce semiperimetro sette punto cinque e area uguale alla nota (radice di tre su quattro) per il lato al quadrato, che Lei può ricalcolare a mano per un controllo incrociato.
Ogni passo è aritmetica elementare più una radice quadrata su tre scalari, senza iterazione, senza campionamento, senza dipendenza dall'orologio e senza bisogno di angoli o altitudini nel contratto di ingresso.
Consigli pratici, limiti e quando preferire Erone ad altri risolutori
Preferisca esempi didattici accoppiati: tre-quattro-cinque per un triangolo rettangolo con area intera sei; cinque-cinque-cinque per l'area equilatera; e uno-due-dieci per mostrare il rifiuto rigoroso che protegge chi chiama da una figura che non è un triangolo. Questa pagina si rivolge a chi cerca una calcolatrice dell'area triangolare con la formula di Erone o uno strumento di area da tre lati; non è un risolutore LAL basato sull'angolo — usi una capacità LAL dedicata quando conosce due lati e l'angolo compreso invece di tre lunghezze.
Preferisca Erone quando ha misurato o ricevuto i tre spigoli e non dispone di altezza o angolo affidabili. Preferisca base per altezza quando l'altitudine è già nota e serve solo il semiprodotto. Preferisca metodi di coordinate o del laccio (shoelace) quando i vertici sono dati come punti anziché come lunghezze di spigolo.
Casi d'uso
Rilievo e computo da tre bordi misurati
Trasformi lunghezze di bordo di un lotto triangolare, misurate a passi o con nastro, in area di pavimento o terreno senza costruire un'altitudine o misurare un angolo d'angolo.
Area in giochi, CAD e mesh da tre spigoli
Convalidi una faccia triangolare o calcoli l'area di superficie quando sono note solo le tre lunghezze di spigolo nel grafo di scena o nei dati della mesh.
Domande frequenti
Cos'è la formula di Erone?
La formula di Erone trova l'area di un triangolo a partire da tre lati a, b e c. Con semiperimetro s = (a+b+c)/2, l'area è sqrt(s(s−a)(s−b)(s−c)).
Cos'è la disuguaglianza triangolare?
Ogni lato deve essere strettamente più corto della somma degli altri due: a+b>c, a+c>b e b+c>a. Se una fallisce, le lunghezze non formano un triangolo non degenere.
Perché i lati collineari sono rifiutati invece di restituire area zero?
Quando a+b=c la figura è un segmento, non un triangolo.
Servono angoli o altezza?
No. Sono richieste solo le tre lunghezze dei lati. Se dispone di due lati e dell'angolo compreso, usi una calcolatrice di triangolo LAL.
La calcolatrice dell'area con la formula di Erone è gratuita?
Lo strumento del browser è gratuito e gira in locale.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/area-heron \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/area-heron", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/area-heron",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/area-heron", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/area-heron", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.area_heron",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_side | 1000000000000 |
min_side | 1e-15 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Cosa calcola la formula di Erone e perché conta la disuguaglianza triangolare
Se una di queste tre verifiche fallisce, non esiste un triangolo e questo strumento restituisce invalid_input invece di un'area nulla, negativa o immaginaria. I prodotti intermedi in virgola mobile restano finiti quando i lati restano nell'intervallo positivo pubblicato, fino a un bilione, inviluppo pratico sia per il Worker sia per il browser.
Come chiamare la calcolatrice e come leggere la risposta
In caso di successo la risposta rinvia a, b e c dopo un arrotondamento fisso a dodici decimali, aggiunge perimeter, semiperimeter, area, method impostato a heron e un breve blocco formula che documenta le forme chiuse di s e del radicale dell'area. I controlli di andata e ritorno sono semplici dopo un successo: confermi che il perimetro è a più b più c, che il semiperimetro è la metà di quel valore e che l'area al quadrato è s per ciascun (s meno lato) entro la tolleranza usuale di virgola mobile. Invii un corpo JSON con tre numeri finiti positivi obbligatori. Il campo a è la prima lunghezza di lato; gli alias side_a e side1 sono accettati con lo stesso significato. Il campo b è il secondo lato; side_b e side2 funzionano allo stesso modo. Il campo c è il terzo lato; side_c e side3 sono accettati. Una validazione fallita — campo obbligatorio assente, valore non finito, lato non positivo, lato fuori dai limiti pubblicati o terna che viola la disuguaglianza triangolare stretta — restituisce invalid_input e non viene mai addebitata. Il prezzo è una tariffa fissa di $0.002 per richiesta riuscita con unità item. Usi l'endpoint da pipeline di compiti di geometria, script di computo metrico in cantiere, strumenti di livelli di gioco, sandbox di preparazione a colloqui, controlli di area di terreno da bordi misurati, o qualsiasi flusso che necessiti di un'area LLL riproducibile senza installare un pacchetto di algebra computazionale su ogni macchina. Le unità sono quelle che Lei passa — metri, piedi o unità di gioco — purché i tre lati condividano la stessa unità; l'API non converte le unità.
Consigli pratici, limiti e quando preferire Erone ad altri risolutori
Mantenga le lunghezze dei lati strettamente positive e al massimo un bilione affinché i prodotti intermedi restino finiti in doppia precisione IEEE sul Worker e nel browser. Poiché la formula richiede solo i lati, gli studenti possono ricalcolare s e i quattro fattori a mano con interi piccoli e confrontarli riga per riga con l'API. Le attività fallite che restituiscono invalid_input non consumano il saldo prepagato, il che mantiene economici gli script esplorativi quando si digitano terne impossibili imparando il contratto. Fissi area e semiperimetro arrotondati nei test automatici affinché un refactor del Worker non alteri in silenzio i numeri di classe o di produzione. Se Le serve solo il semiperimetro senza la radice quadrata, può comunque chiamare questo endpoint e ignorare il campo area, oppure usare un ausilio dedicato di semiperimetro quando quella è l'unica grandezza di interesse.
Casi di integrazione
Controllo di compiti ed esami di area LLL
Fornisca agli studenti tre lunghezze di lato; confronti il semiperimetro e l'area di Erone calcolati a mano con il risultato deterministico dell'API o del browser gratuito.