Altezze di un triangolo
Ottenga le tre altezze di un triangolo conoscendo solo i lati: con lati di 3, 4 e 5 l'area è 6 e le altezze misurano 4, 3 e 2,4. Non servono angoli né coordinate dei vertici. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 3
- B
- 4
- C
- 5
- Perimetro
- 12
- Semiperimetro
- 6
- Area
- 6
- Altezza a
- 4
L'altezza di un triangolo è la distanza perpendicolare da un vertice alla retta del lato opposto. Quando Lei conosce solo le tre lunghezze dei lati — dati LLL di una scheda di esercizi, bordi misurati a passi di un lotto triangolare o spigoli in una mesh — può comunque recuperare le tre lunghezze di altezza senza misurare angoli né costruire l'ortocentro. Questa capacità verifica la disuguaglianza triangolare stretta affinché la figura non sia degenere, calcola l'area con la formula di Erone a partire dal semiperimetro e restituisce ciascuna altezza come il doppio dell'area diviso per la base corrispondente.
Cosa sono le altezze di un triangolo e come se ne ricavano le lunghezze
Un'altezza di un triangolo è un segmento perpendicolare da un vertice alla retta che contiene il lato opposto. La sua lunghezza è l'altezza quando quel lato opposto è preso come base. Etichetti i lati a, b e c.
Quando si conoscono solo i lati, la formula di Erone fornisce l'area senza angoli: formi il semiperimetro s uguale a (a più b più c) diviso due; poi A è la radice quadrata positiva di s per (s meno a) per (s meno b) per (s meno c). Il prodotto sotto il radicale è zero proprio quando i lati sono collineari, perciò si richiede la disuguaglianza triangolare stretta: a più b deve superare c, a più c deve superare b e b più c deve superare a.
Un controllo classico è il triangolo rettangolo tre-quattro-cinque: semiperimetro sei, area sei, quindi l'altezza al lato tre è quattro, al lato quattro è tre e al lato cinque è due virgola quattro, in accordo con la metà base per altezza con cateti tre e quattro sull'ipotenusa come base. Ogni passo è aritmetica elementare e radici quadrate su tre scalari, senza iterazione, senza campionamento, senza dipendenza dall'orologio e senza bisogno di angoli o coordinate dei vertici nel contratto di ingresso.
Consigli pratici, limiti e ricerche correlate
Nell'insegnamento, preferisca esempi accoppiati: tre-quattro-cinque per un triangolo rettangolo con area intera e altezze pulite quattro, tre e due virgola quattro; cinque-cinque-cinque per altezze equilatere tutte uguali a (radice di tre su due) per il lato; e uno-due-dieci per mostrare il percorso di rigetto rigido che protegge chi chiama da un non-triangolo.
Questa pagina si rivolge a chi cerca una calcolatrice delle lunghezze di altezza di un triangolo o altezze da tre lati; non è uno strumento di ortocentro da coordinate — usi la capacità dedicata di ortocentro quando ha coordinate dei vertici invece di lunghezze dei lati. Preferisca questo strumento quando ha misurato o ricevuto i tre spigoli e necessita delle tre altezze relative a quegli spigoli.
Preferisca altezze basate su Erone alla costruzione di un diagramma quando sono disponibili solo dati LLL e non le serve il piede di ciascuna altezza come punto nel piano.
Casi d'uso
Topografia e altezze di un lotto rispetto a ciascun bordo
Trasformi lunghezze di bordi di un lotto triangolare misurate a passi in altezze perpendicolari a ciascun confine senza misurare angoli né segnare l'ortocentro.
Altezze in giochi, CAD e mesh a partire da tre spigoli
Convalidi una faccia triangolare o ricavi lunghezze di altezza quando solo i tre spigoli sono noti nel grafo di scena o nei dati della mesh.
Domande frequenti
Come si trovano le lunghezze di altezza di un triangolo da tre lati?
Calcoli l'area A con la formula di Erone dai lati a, b e c. Ciascuna altezza è l'altezza quando quel lato è la base.
Che cos'è la disuguaglianza triangolare?
Ogni lato deve essere strettamente più corto della somma degli altri due: a+b>c, a+c>b e b+c>a. Se una fallisce, le lunghezze non formano un triangolo non degenere.
Perché i lati collineari sono rifiutati invece di restituire altezze zero?
Quando a+b=c la figura è un segmento, non un triangolo.
Servono angoli o coordinate dei vertici?
No. Sono richieste solo le tre lunghezze dei lati. Per la posizione dell'ortocentro da coordinate, usi una calcolatrice di ortocentro dedicata.
La calcolatrice delle altezze di un triangolo è gratuita?
Lo strumento browser è gratuito e gira in locale.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-altitudes \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-altitudes", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-altitudes",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-altitudes", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-altitudes", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.triangle_altitudes",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
I risultati sono JSON deterministico: senza sistema di algebra computazionale, senza semi casuali e con la stessa funzione pura di risoluzione nello strumento gratuito del browser e nel percorso API prepagato, così controlli dei compiti, script di valutazione e pipeline di produzione vedono sempre gli stessi numeri.
Cosa sono le altezze di un triangolo e come se ne ricavano le lunghezze
L'altezza relativa al lato a (spesso scritta h_a) è la distanza perpendicolare dal vertice opposto al lato a; analogamente h_b e h_c vanno ai lati b e c. Poiché l'area è la metà della base per l'altezza, riordinando si ottiene che h è il doppio dell'area sulla base: h_a è due A su a, h_b è due A su b e h_c è due A su c. Se una fallisce, non esiste un triangolo non degenere e questo strumento restituisce invalid_input invece di un'altezza zero o immaginaria.
Come chiamare l'API e cosa viene restituito
La usi da pipeline di compiti di geometria, script di computo in cantiere che necessitano di altezze relative a ciascun spigolo, strumenti di livelli di gioco, sandbox di preparazione ai colloqui o qualsiasi flusso che richieda lunghezze di altezza LLL riproducibili senza installare un pacchetto di algebra computazionale su ogni macchina. Invii un corpo JSON con tre campi. Il campo a è la prima lunghezza di lato positiva; sono accettati gli alias side_a e side1. Il campo b è il secondo lato positivo; side_b e side2 hanno lo stesso significato. Il campo c è il terzo lato positivo; side_c e side3 sono accettati. In caso di successo la risposta riecheggia a, b e c, aggiunge perimeter, semiperimeter, area, altitude_a, altitude_b, altitude_c, method impostato a heron_altitudes e un breve blocco formula che documenta le forme chiuse di s, dell'area e di ciascuna altezza. Una validazione fallita — campo obbligatorio mancante, numero non finito, lato non positivo, lato fuori dai limiti pubblicati o terna che rompe la disuguaglianza triangolare stretta — restituisce invalid_input e non viene mai addebitata. Il prezzo è una tariffa fissa di $0.002 per richiesta riuscita, unità item. I controlli di andata e ritorno sono semplici: dopo la risoluzione, confermi che l'area è la metà di a per altitude_a (e in modo ciclico) entro la tolleranza in virgola mobile, e che il perimetro è a più b più c.
Consigli pratici, limiti e ricerche correlate
Mantenga le lunghezze dei lati nell'intervallo positivo pubblicato, fino a un bilione, affinché i prodotti intermedi restino finiti in doppia precisione IEEE sul Worker e nel browser. Le unità sono quelle che Lei passa — metri, piedi o unità di gioco — purché i tre lati condividano la stessa unità; l'API non converte le unità e le altezze restituite usano quella stessa unità. Poiché le formule necessitano solo dei lati, gli studenti possono ricalcolare s, l'area e ciascun quoziente due-A-su-lato a mano con interi piccoli e confrontare riga per riga con l'API. Le attività fallite che restituiscono invalid_input non consumano il saldo prepagato, il che mantiene economici gli script esplorativi quando gli utenti digitate terne impossibili mentre apprendono il contratto.
Casi di integrazione
Controllo compiti ed esami sulle altezze LLL
Assegni agli studenti tre lunghezze di lato; confronti l'area di Erone e le tre altezze calcolate a mano con il risultato deterministico dell'API o del browser gratuito.