Calcolatrice della formula di Erone: area del triangolo da tre lati
Ottenga l'area di un triangolo dai soli tre lati, senza angoli né altezza: i lati 3, 4 e 5 danno un semiperimetro di 6 e un'area di 6. Le misure che non chiudono un triangolo vengono segnalate. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Lunghezza del primo lato
- 3
- Lunghezza del secondo lato
- 4
- Lunghezza del terzo lato
- 5
- Perimetro
- 12
- Semiperimetro
- 6
- Area
- 6
La formula di Erone è il metodo classico per trovare l'area di un triangolo quando si conoscono le lunghezze dei tre lati e nessuno degli angoli: un geometra ha misurato i tre bordi di un terreno; uno studente dispone di dati SSS senza altezza; una pipeline di gioco o CAD ha bisogno dell'area da tre spigoli misurati senza costruire altezze a mano. Questa capacità verifica la disuguaglianza triangolare stretta affinché la figura non sia degenere, forma il semiperimetro come metà della somma dei lati e restituisce la radice quadrata positiva di s moltiplicato per ciascun (s meno lato).
Che cos'è la formula di Erone e come funzionano i numeri
La formula di Erone calcola l'area di un triangolo a partire dalle sole lunghezze dei lati. Chiami i lati a, b e c. Prima formi il semiperimetro s uguale a (a più b più c) diviso due.
Poi l'area è la radice quadrata positiva di s per (s meno a) per (s meno b) per (s meno c). Quel prodotto sotto radice è zero esattamente quando i lati sono collineari, cioè quando un lato è uguale alla somma degli altri due, quindi è richiesta una disuguaglianza triangolare stretta: a più b deve superare c, a più c deve superare b e b più c deve superare a.
Un controllo classico è il triangolo rettangolo tre-quattro-cinque: perimetro dodici, semiperimetro sei e area sei, che corrisponde a metà base per altezza con cateti tre e quattro. Un triangolo equilatero con lati uguali a cinque dà semiperimetro sette e mezzo e area pari alla nota (radice di tre fratto quattro) per il lato al quadrato, che può verificare a mano.
Ogni passaggio è aritmetica elementare con una sola radice quadrata su tre scalari, quindi non c'è iterazione, nessun campionamento, nessuna dipendenza dall'orologio di sistema e nessun bisogno di angoli o altezze nel contratto di input.
Consigli pratici, limiti e ricerche correlate
Nell'insegnamento, preferisca esempi accoppiati: tre-quattro-cinque per un triangolo rettangolo con area intera sei; cinque-cinque-cinque per l'area equilatera; e uno-due-dieci per dimostrare il percorso di rifiuto netto che protegge chi chiama da una non-figura. Questa pagina si rivolge a chi cerca una calcolatrice della formula di Erone o uno strumento per l'area del triangolo da tre lati; non è un risolutore SAS basato sull'angolo: usi la capacità SAS dedicata quando conosce due lati e l'angolo compreso invece di tre lunghezze.
Preferisca Erone quando ha misurato o le sono stati dati tutti e tre i bordi e non dispone di un'altezza o di un angolo affidabili. I controlli di andata e ritorno sono facili: dopo la risoluzione, confermi che il perimetro sia uguale ad a più b più c, che il semiperimetro ne sia la metà e che l'area al quadrato sia uguale a s per ciascun (s meno lato) entro la tolleranza in virgola mobile.
Casi d'uso
Rilievo e computo di terreni da tre bordi misurati
Trasformi le lunghezze dei bordi di un lotto triangolare in superficie edificabile o fondiaria senza costruire un'altezza né misurare un angolo.
Area di mesh, giochi e CAD da tre lunghezze di spigolo
Convalidi una faccia triangolare o calcoli la superficie quando nel grafo di scena o nei dati di mesh sono note solo le tre lunghezze degli spigoli.
Domande frequenti
Che cos'è la formula di Erone?
La formula di Erone trova l'area di un triangolo dalle tre lunghezze dei lati a, b e c. Con il semiperimetro s = (a+b+c)/2, l'area è sqrt(s(s−a)(s−b)(s−c)).
Che cos'è la disuguaglianza triangolare?
Ogni lato deve essere strettamente più corto della somma degli altri due: a+b>c, a+c>b e b+c>a. Se una condizione fallisce, le lunghezze non formano un triangolo non degenere.
Perché i lati collineari vengono rifiutati invece di restituire area zero?
Quando a+b=c la figura è un segmento, non un triangolo.
Servono angoli o altezza?
No. Sono richieste solo le tre lunghezze dei lati. Se invece dispone di due lati e dell'angolo compreso, usi una calcolatrice triangolare SAS.
La calcolatrice della formula di Erone è gratuita?
Lo strumento nel browser è gratuito e funziona in locale.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/heron-area", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.heron_area",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_side | 1000000000000 |
min_side | 1e-15 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
I risultati sono JSON deterministici: nessun sistema di algebra computazionale, nessun seme casuale e la stessa funzione di risoluzione pura nello strumento gratuito del browser e nel percorso API prepagato, così verifiche dei compiti, script di valutazione e pipeline di produzione vedono sempre gli stessi numeri.
Che cos'è la formula di Erone e come funzionano i numeri
Quando una di queste condizioni fallisce, non esiste alcun triangolo e questo strumento restituisce invalid_input invece di un'area zero o immaginaria.
Come chiamare l'API e che cosa ritorna
In caso di successo la risposta riporta a, b e c, aggiunge perimeter, semiperimeter, area, method impostato su heron e un breve blocco formula che documenta le forme chiuse per s e per il radicale dell'area. Lo usi da pipeline di compiti di geometria, script di computo edile, strumenti per livelli di gioco, sandbox per preparazione ai colloqui, controlli di superficie da bordi misurati o qualsiasi flusso di lavoro che richieda un'area SSS riproducibile senza installare un pacchetto di algebra computazionale su ogni macchina. Invii un corpo JSON con tre campi. Il campo a è la lunghezza del primo lato positivo; sono accettati gli alias side_a e side1. Il campo b è il secondo lato positivo; gli alias side_b e side2 hanno lo stesso significato. Il campo c è il terzo lato positivo; sono accettati gli alias side_c e side3. Una convalida fallita (campo obbligatorio mancante, numero non finito, lato non positivo, lato fuori dai limiti pubblicati o terna che viola la disuguaglianza triangolare stretta) restituisce invalid_input e non viene mai addebitata. Il prezzo è una tariffa fissa di $0.002 per richiesta riuscita con unità item e prezzo marginale unitario zero.
Consigli pratici, limiti e ricerche correlate
Mantenga le lunghezze dei lati nell'intervallo positivo pubblicato fino a mille miliardi, così i prodotti intermedi restano finiti in doppia precisione IEEE sul Worker e nel browser. Le unità sono quelle che passa lei (metri, piedi o unità di gioco), purché i tre lati condividano la stessa unità; l'API non converte le unità per lei. Poiché la formula richiede solo i lati, gli studenti possono ricalcolare a mano s e i quattro fattori per piccoli interi e confrontare riga per riga con l'API. Le attività fallite che restituiscono invalid_input non consumano saldo prepagato, il che mantiene economici gli script esplorativi quando gli utenti digitano terne impossibili mentre imparano il contratto.
Casi di integrazione
Verifiche di compiti ed esami per problemi di area SSS
Assegni agli studenti tre lunghezze di lato; confronti il semiperimetro e l'area di Erone calcolati a mano con un risultato API deterministico o gratuito nel browser.