Formula di Brahmagupta: area del quadrilatero ciclico
Inserisca i quattro lati di un quadrilatero inscritto in una circonferenza e ottenga l'area: lati 3, 4, 3 e 4 danno un semiperimetro di 7 e un'area di 12. Se i lati non possono chiudere la figura, glielo segnala. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 3
- B
- 4
- C
- 3
- D
- 4
- Perimetro
- 14
- Semiperimetro
- 7
- Area
- 12
La formula di Brahmagupta è il modo classico in forma chiusa per trovare l'area di un quadrilatero ciclico quando si conoscono le quattro lunghezze dei lati e nessuno degli angoli né delle diagonali: un topografo ha misurato a passi i quattro bordi di un lotto ciclico; uno studente riceve quattro lati consecutivi di una figura inscritta in un cerchio; un gioco o una pipeline CAD ha bisogno della superficie da quattro spigoli misurati senza costruire altezze a mano. Questo calcolatore della formula di Brahmagupta verifica la disuguaglianza stretta del quadrilatero affinché il contorno possa chiudersi, forma il semiperimetro come metà della somma dei lati e restituisce la radice quadrata positiva del prodotto di ciascun (semiperimetro meno lato).
Cos'è la formula di Brahmagupta e come funzionano i numeri
La formula di Brahmagupta calcola l'area di un quadrilatero ciclico — un poligono a quattro lati i cui vertici giacciono tutti su un unico cerchio — a partire soltanto dalle lunghezze dei quattro lati. Etichetti i lati consecutivi a, b, c e d in ordine attorno alla figura. Prima formi il semiperimetro s uguale a (a più b più c più d) diviso per due.
Poi l'area è la radice quadrata positiva di (s meno a) per (s meno b) per (s meno c) per (s meno d). Quel prodotto sotto il radicale è zero o negativo quando i lati non possono formare un quadrilatero chiuso non degenere, perciò si richiede una disuguaglianza stretta: ciascun lato deve essere più corto della somma degli altri tre (in modo equivalente, ciascun lato deve essere strettamente minore di s). Un controllo classico è il quadrato di lato uno: perimetro quattro, semiperimetro due e area uno.
Un rettangolo con lati consecutivi tre, quattro, tre, quattro produce semiperimetro sette e area dodici, coincidente con lunghezza per larghezza. Un trapezio isoscele o qualsiasi altro contorno ciclico con le stesse quattro lunghezze recupera lo stesso valore di Brahmagupta — tra tutti i quadrilateri con lati dati, quello ciclico ha area massima, e Brahmagupta restituisce quel massimo.
Ogni passo è aritmetica elementare e una radice quadrata su quattro scalari, senza iterazione, senza campionamento, senza dipendenza dall'orologio e senza bisogno di angoli, diagonali o raggio del cerchio circoscritto nel contratto di ingresso.
Suggerimenti pratici, limiti e ricerche correlate
Nell'insegnamento, preferisca esempi abbinati: un quadrato unitario di area uno; un rettangolo tre-quattro-tre-quattro di area dodici; e uno-uno-uno-dieci per dimostrare il percorso di rigetto rigoroso che protegge chi chiama da lati che non possono chiudersi.
Questa landing si rivolge a chi cerca un calcolatore della formula di Brahmagupta o uno strumento di area del quadrilatero ciclico da quattro lati; non è un risolutore generale di area di quadrilatero non ciclico — usi lo shoelace dalle coordinate quando la figura non è ciclica, e la formula di Erone quando ha solo un triangolo. Preferisca Brahmagupta quando ha misurato o ricevuto i quattro spigoli di un contorno ciclico e non ha un'altezza o una diagonale affidabile.
I controlli andata e ritorno sono semplici: dopo la risoluzione, confermi che il perimetro è a più b più c più d, che il semiperimetro ne è la metà, e che l'area al quadrato è il prodotto dei quattro fattori (s meno lato) entro la tolleranza in virgola mobile. Intenti correlati ma distinti — prodotto delle diagonali di Tolomeo, area triangolare di Erone o shoelace per coordinate — appartengono alle proprie landing piuttosto che sovraccaricare questa pagina di area ciclica.
Casi d'uso
Rilievo e computo da quattro bordi misurati
Trasformi le lunghezze di bordo di un lotto o telaio ciclico, misurate a passi o con metro a nastro, in area di pavimento o terreno senza costruire altezze né misurare angoli d'angolo.
Area in giochi, CAD e mesh da quattro spigoli
Convalidi una faccia quadrilatera ciclica o calcoli la superficie quando sono note solo le quattro lunghezze di spigolo consecutive nel grafo di scena o nei dati della mesh.
Domande frequenti
Cos'è la formula di Brahmagupta?
La formula di Brahmagupta trova l'area di un quadrilatero ciclico da quattro lati a, b, c e d. Con semiperimetro s = (a+b+c+d)/2, l'area è sqrt((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)).
Cos'è la disuguaglianza del quadrilatero?
Ciascun lato deve essere strettamente più corto della somma degli altri tre. Se un lato è più lungo o uguale a quella somma, le lunghezze non formano un quadrilatero semplice chiuso.
Perché i lati che non si chiudono vengono rifiutati invece di restituire area zero?
Quando un lato è almeno la somma degli altri tre, non esiste un quadrilatero semplice chiuso.
Servono angoli, diagonali o coordinate?
No. Sono richieste solo le quattro lunghezze di lato consecutive di un quadrilatero ciclico. Per figure non cicliche con vertici noti, usi uno strumento di area del quadrilatero a laccio (coordinate).
Il calcolatore della formula di Brahmagupta è gratuito?
Lo strumento del browser è gratuito e gira in locale.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.cyclic_quadrilateral_area",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
I risultati sono JSON deterministico — senza sistema di algebra computazionale, senza semi casuali e con la stessa funzione pura di risoluzione nello strumento gratuito del browser e nel percorso API prepagato — così controlli dei compiti, script di valutazione e pipeline di produzione vedono sempre gli stessi numeri.
Cos'è la formula di Brahmagupta e come funzionano i numeri
Quando una di queste condizioni fallisce, non esiste un quadrilatero semplice chiuso e questo strumento restituisce invalid_input invece di un'area zero o immaginaria.
Come chiamare l'API e cosa torna indietro
In caso di successo la risposta ecoa a, b, c e d, aggiunge perimeter, semiperimeter, area, method impostato a brahmagupta e una breve stringa formula che documenta le forme chiuse di s e del radicale dell'area. Lo usi da pipeline di compiti di geometria, script di computo metrico in cantiere, strumenti di livelli di gioco, sandbox di preparazione a colloqui, controlli di area di terreno da bordi misurati di un lotto ciclico, o qualsiasi flusso che necessiti di un'area di quadrilatero ciclico riproducibile senza installare un pacchetto di algebra computazionale su ogni macchina. Invii un corpo JSON con quattro campi. Il campo a è la prima lunghezza di lato positiva; si accettano gli alias side_a, ab e side1. Il campo b è il secondo lato positivo; gli alias side_b, bc e side2 hanno lo stesso significato. Il campo c è il terzo lato positivo; si accettano gli alias side_c, cd e side3. Il campo d è il quarto lato positivo; si accettano gli alias side_d, da e side4. Una validazione fallita — campo obbligatorio mancante, numero non finito, lato non positivo o quartetto che rompe la disuguaglianza stretta del quadrilatero — restituisce invalid_input e non viene mai addebitata. Il prezzo è una tariffa fissa di $0.002 per richiesta andata a buon fine, unità item. Abbini questo endpoint alla capacità prodotto delle diagonali di Tolomeo quando le serve anche il prodotto delle diagonali dagli stessi quattro lati, e allo strumento generale di area del quadrilatero a laccio (shoelace) quando dispone delle coordinate dei vertici invece delle sole lunghezze dei lati.
Suggerimenti pratici, limiti e ricerche correlate
Mantenga le lunghezze dei lati finite e positive affinché i prodotti intermedi restino rappresentabili in doppia precisione IEEE sul Worker e nel browser. Le unità sono quelle che Lei passa — metri, piedi o unità di gioco — purché i quattro lati condividano la stessa unità; l'API non converte le unità. Poiché la formula ha bisogno solo dei lati, gli studenti possono ricalcolare s e i quattro fattori a mano con interi piccoli e confrontare riga per riga con l'API. Le attività fallite che restituiscono invalid_input non consumano il saldo prepagato, il che mantiene economici gli script esplorativi quando gli utenti digitano contorni impossibili mentre imparano il contratto.
Casi di integrazione
Controlli di compiti ed esami sull'area del quadrilatero ciclico
Dia agli studenti quattro lunghezze di lato consecutive di un quadrilatero ciclico; confronti semiperimetro e area di Brahmagupta calcolati a mano con il risultato deterministico dell'API o del browser gratuito.