Calculadora fórmula de Brahmagupta: área do quadrilátero cíclico
Digite os quatro lados de um quadrilátero inscrito em uma circunferência e receba a área: os lados 3, 4, 3 e 4 dão semiperímetro 7 e área 12. Se os lados não conseguem fechar a figura, você é avisado. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 3
- B
- 4
- C
- 3
- D
- 4
- Perímetro
- 14
- Semiperímetro
- 7
- Área
- 12
A fórmula de Brahmagupta é a forma clássica em expressão fechada de achar a área de um quadrilátero cíclico quando você conhece os quatro lados e nenhum dos ângulos nem das diagonais: um topógrafo mediu a passos as quatro bordas de um lote cíclico; um estudante recebe quatro lados consecutivos de uma figura inscrita em um círculo; um jogo ou um pipeline de CAD precisa da superfície a partir de quatro arestas medidas sem construir alturas à mão. Esta calculadora da fórmula de Brahmagupta verifica a desigualdade estrita do quadrilátero para que o contorno possa fechar, forma o semiperímetro como a metade da soma dos lados e devolve a raiz quadrada positiva do produto de cada (semiperímetro menos lado).
O que é a fórmula de Brahmagupta e como os números funcionam
A fórmula de Brahmagupta calcula a área de um quadrilátero cíclico — um polígono de quatro lados cujos vértices estão todos sobre um mesmo círculo — apenas a partir dos comprimentos dos quatro lados. Rotule os lados consecutivos a, b, c e d na ordem ao redor da figura. Primeiro forme o semiperímetro s igual a (a mais b mais c mais d) dividido por dois.
Em seguida a área é a raiz quadrada positiva de (s menos a) vezes (s menos b) vezes (s menos c) vezes (s menos d). Esse produto sob o radical é zero ou negativo quando os lados não podem formar um quadrilátero fechado não degenerado, por isso exige-se uma desigualdade estrita: cada lado deve ser mais curto que a soma dos outros três (equivalentemente, cada lado deve ser estritamente menor que s). Uma verificação clássica é o quadrado de lado um: perímetro quatro, semiperímetro dois e área um.
Um retângulo com lados consecutivos três, quatro, três, quatro produz semiperímetro sete e área doze, coincidindo com comprimento vezes largura. Um trapézio isósceles ou qualquer outro contorno cíclico com os mesmos quatro comprimentos recupera o mesmo valor de Brahmagupta — entre todos os quadriláteros com lados dados, o cíclico tem área máxima, e Brahmagupta devolve esse máximo. Cada passo é aritmética elementar e uma raiz quadrada sobre quatro escalares, sem iteração, sem amostragem, sem dependência do relógio e sem necessidade de ângulos, diagonais ou circunraio no contrato de entrada.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Ao ensinar, prefira exemplos emparelhados: um quadrado unitário com área um; um retângulo três-quatro-três-quatro com área doze; e um-um-um-dez para demonstrar o caminho de rejeição rígida que protege quem chama de lados que não fecham.
Esta landing atende quem busca uma calculadora da fórmula de Brahmagupta ou uma ferramenta de área de quadrilátero cíclico a partir de quatro lados; não é um solucionador geral de área de quadrilátero não cíclico — use shoelace a partir de coordenadas quando a figura não for cíclica, e a fórmula de Heron quando só tiver um triângulo. Prefira Brahmagupta quando você mediu ou recebeu as quatro arestas de um contorno cíclico e não tem altura ou diagonal confiável.
Checagens de ida e volta são fáceis: após resolver, confirme que o perímetro é a mais b mais c mais d, que o semiperímetro é a metade e que a área ao quadrado é o produto dos quatro fatores (s menos lado) dentro da tolerância de ponto flutuante. Intenções relacionadas mas distintas — produto das diagonais de Ptolomeu, área triangular de Heron ou shoelace por coordenadas — pertencem a suas próprias landings e não devem sobrecarregar esta página de área cíclica.
Casos de uso
Topografia e quantitativo a partir de quatro bordas medidas
Transforme comprimentos de borda de um lote ou armação cíclica, medidos a passos ou com trena, em área de piso ou terreno sem construir altitudes nem medir ângulos de canto.
Área em jogos, CAD e malhas a partir de quatro arestas
Valide uma face quádica cíclica ou calcule a área de superfície quando só se conhecem os quatro comprimentos de aresta consecutivos no grafo de cena ou nos dados da malha.
Perguntas frequentes
O que é a fórmula de Brahmagupta?
A fórmula de Brahmagupta encontra a área de um quadrilátero cíclico a partir de quatro lados a, b, c e d. Com semiperímetro s = (a+b+c+d)/2, a área é sqrt((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)).
O que é a desigualdade do quadrilátero?
Cada lado deve ser estritamente mais curto que a soma dos outros três. Se algum lado for maior ou igual a essa soma, os comprimentos não formam um quadrilátero simples fechado.
Por que lados que não fecham são rejeitados em vez de devolver área zero?
Quando um lado é pelo menos a soma dos outros três, não existe um quadrilátero simples fechado.
É preciso de ângulos, diagonais ou coordenadas?
Não. Só são necessários os quatro comprimentos de lado consecutivos de um quadrilátero cíclico. Para figuras não cíclicas com vértices conhecidos, use uma ferramenta de área de quadrilátero por shoelace (coordenadas).
A calculadora da fórmula de Brahmagupta é grátis?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"c":5,"d":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/cyclic-quadrilateral-area", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 3,
"b": 4,
"c": 5,
"d": 6
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.cyclic_quadrilateral_area",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Os resultados são JSON determinístico — sem sistema de álgebra computacional, sem sementes aleatórias e com a mesma função pura de resolução na ferramenta gratuita do navegador e no caminho de API pré-paga — de modo que revisões de lição de casa, scripts de correção e pipelines de produção veem sempre os mesmos números.
O que é a fórmula de Brahmagupta e como os números funcionam
Quando alguma falha, não existe um quadrilátero simples fechado e esta ferramenta devolve invalid_input em vez de uma área zero ou imaginária.
Como chamar a API e o que volta
Em caso de sucesso a resposta ecoa a, b, c e d, acrescenta perimeter, semiperimeter, area, method com valor brahmagupta e uma string formula curta que documenta as formas fechadas de s e do radical da área. Use em pipelines de lição de geometria, scripts de quantitativo em construção, ferramentas de níveis de jogos, sandboxes de preparação para entrevistas, checagens de área de terreno a partir de bordas medidas de um lote cíclico, ou qualquer fluxo que precise de área de quadrilátero cíclico reproduzível sem instalar um pacote de álgebra computacional em cada máquina. Envie um corpo JSON com quatro campos. O campo a é o primeiro comprimento de lado positivo; os aliases side_a, ab e side1 são aceitos. O campo b é o segundo lado positivo; os aliases side_b, bc e side2 têm o mesmo significado. O campo c é o terceiro lado positivo; os aliases side_c, cd e side3 são aceitos. O campo d é o quarto lado positivo; os aliases side_d, da e side4 são aceitos. Validação falha — campo obrigatório ausente, número não finito, lado não positivo ou quaterna que quebra a desigualdade estrita do quadrilátero — devolve invalid_input e nunca é cobrada. O preço é uma tarifa fixa de US$ 0,002 por requisição bem-sucedida, com unidade item. Combine este endpoint com a capacidade de produto das diagonais de Ptolomeu quando também precisar do produto das diagonais a partir dos mesmos quatro lados, e com a ferramenta geral de área de quadrilátero por shoelace quando tiver coordenadas dos vértices em vez de apenas comprimentos de lados.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Mantenha os comprimentos de lado finitos e positivos para que os produtos intermediários permaneçam representáveis em precisão dupla IEEE no Worker e no navegador. As unidades são as que você passar — metros, pés ou unidades de jogo — desde que os quatro lados compartilhem a mesma unidade; a API não converte unidades. Como a fórmula só precisa de lados, os estudantes podem recalcular s e os quatro fatores à mão com inteiros pequenos e bater linha a linha com a API. Tarefas falhas que devolvem invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que mantém baratos os scripts exploratórios quando usuários digitam contornos impossíveis ao aprender o contrato.
Casos de integração
Checagens de lição e prova de área de quadrilátero cíclico
Dê aos estudantes quatro comprimentos de lado consecutivos de um quadrilátero cíclico; compare o semiperímetro e a área de Brahmagupta calculados à mão com o resultado determinístico da API ou do navegador gratuito.