Calculadora triângulo SAS: 3º lado, área e ângulos
Dois lados e o ângulo entre eles entregam o triângulo inteiro: os lados 3 e 4 com 90° entre si fecham com um terceiro lado de 5, área de 6 e ângulos de 36,869897645844° e 53,130102354156°. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Comprimento do primeiro lado
- 3
- Comprimento do segundo lado
- 4
- Ângulo c
- 90
- C
- 5
- Ângulo a
- 36,8698976458
- Ângulo b
- 53,1301023542
- Soma dos ângulos
- 180
O caso lado-ângulo-lado (SAS) é a forma clássica de fixar um triângulo quando você conhece dois comprimentos e o ângulo entre eles: um topógrafo mede dois trechos de cerca e o canto; um estudante recebe os lados a e b com o ângulo incluído C; um caminho de jogo ou CAD precisa da aresta de fechamento, da área e dos outros dois ângulos sem desenhar à mão. Esta capacidade aplica a lei dos cossenos para o terceiro lado desconhecido, a fórmula de meio produto pelo seno para a área e um segundo par de recuperações por cossenos para os vértices restantes. O ângulo incluído deve ficar estritamente entre zero e cento e oitenta graus para a figura não ser degenerada.
O que SAS significa e como as fórmulas funcionam
SAS significa lado-ângulo-lado: você fornece dois comprimentos de lado e o ângulo que fica entre esses dois lados, não um ângulo oposto a um deles. Essa distinção importa porque o caso ambíguo SSA pode gerar zero, um ou dois triângulos, enquanto SAS sempre determina um triângulo único quando o ângulo incluído está estritamente entre zero e cento e oitenta graus e ambos os lados são positivos.
O terceiro lado segue a lei dos cossenos: c ao quadrado é igual a a ao quadrado mais b ao quadrado menos dois a b cos de C, de modo que c é a raiz quadrada positiva dessa quantidade. A área é um meio vezes a vezes b vezes sin de C, que é zero só nos extremos degenerados zero e cento e oitenta graus —exatamente os casos que esta ferramenta rejeita—.
Com c conhecido, os ângulos em A e B também se recuperam com a lei dos cossenos: cos A é igual a b ao quadrado mais c ao quadrado menos a ao quadrado, tudo sobre dois b c, e o mesmo para B. Usar o cosseno inverso em vez da só lei dos senos mantém bem o comportamento com ângulos incluídos obtusos, porque o seno é simétrico em torno de noventa graus enquanto o cosseno preserva a distinção agudo versus obtuso.
Uma checagem de triângulo retângulo é imediata: a igual a três, b igual a quatro, C igual a noventa graus produz c igual a cinco, área seis e ângulos agudos complementares em A e B. Um exemplo isósceles com lados iguais e ângulo incluído de sessenta graus fecha em um equilátero quando os lados coincidem. Cada passo é trigonometria elementar sobre três escalares, sem iteração, sem amostragem e sem dependência do relógio de parede.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Os ângulos do contrato público são só em graus; converta de radianos no seu cliente se a pilha de sensores usar radianos. Ao ensinar, prefira exemplos emparelhados: três-quatro-noventa para um retângulo clássico; lados iguais com sessenta graus incluídos para o equilátero; e um ângulo de cento e oitenta ou zero para demonstrar o caminho de rejeição dura que protege quem chama de uma figura de área zero.
Esta página atende quem busca uma calculadora de triângulo SAS ou um solucionador de dois lados e ângulo incluído; não é uma ferramenta do caso ambíguo SSA e não inventará um segundo triângulo quando só se conhece um ângulo oposto. Prefira SAS quando o ângulo medido é o canto entre as duas arestas medidas —típico em topografia, meias-esquadrias de carpintaria e problemas de fechamento de caminho—.
Casos de uso
Topografia e quantitativo de obra com duas arestas e um canto
Transforme trechos de cerca ou comprimentos de parede mais o ângulo de canto incluído no lado de fechamento, na área do piso e nos ângulos internos sem um passo CAD separado.
Ferramentas de jogo, CAD e fechamento de caminhos
Feche um caminho poligonal ou valide um fragmento de malha triangular quando dois comprimentos de aresta e o ângulo de dobradiça entre eles já são conhecidos no grafo de cena.
Perguntas frequentes
O que SAS significa em uma calculadora de triângulos?
SAS significa lado-ângulo-lado: dois comprimentos de lado e o ângulo incluído entre eles. Esses dados determinam de forma única o terceiro lado, a área e os outros dois ângulos quando o ângulo está entre 0° e 180° exclusivos.
Como o terceiro lado é calculado?
Com a lei dos cossenos: c = sqrt(a² + b² − 2ab cos C), em que C é o ângulo incluído em graus convertido para radianos para o cosseno.
Por que ângulos de 0° ou 180° são rejeitados?
Esses valores tornam a área zero e colapsam a figura a um segmento de reta.
Isto resolve o caso ambíguo SSA?
Não. Esta capacidade é apenas SAS. SSA (dois lados e um ângulo não incluído) pode ser ambíguo e está fora deste contrato.
A calculadora de triângulo SAS é gratuita?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-sas \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"angle_c":90}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-sas", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"angle_c": 90
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-sas",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"angle_c": 90
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-sas", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"angle_c":90}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"angle_c":90}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-sas", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 3,
"b": 4,
"angle_c": 90
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.triangle_sas",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_side | 1000000000000 |
min_angle_deg | 0 |
max_angle_deg | 180 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Os resultados são JSON determinístico —sem sistema de álgebra computacional, sem sementes aleatórias e com a mesma função de resolução pura na ferramenta gratuita do navegador e na via de API pré-paga—, de modo que checagens de lição de casa, scripts de correção e pipelines de produção veem os mesmos números.
Como chamar a API e o que volta
Use em pipelines de lição de geometria, scripts de quantitativo de obra, ferramentas de nível de jogo, sandboxes de preparação de entrevista ou qualquer fluxo que precise de um SAS reprodutível sem instalar um pacote de álgebra em cada máquina. Envie um corpo JSON com três campos. O campo a é o primeiro comprimento de lado positivo; os aliases side_a e side1 são aceitos. O campo b é o segundo lado positivo; side_b e side2 mapeiam o mesmo significado. O campo angle_c é o ângulo incluído entre esses lados, em graus, estritamente maior que zero e estritamente menor que cento e oitenta; os aliases C, included_angle e angle são aceitos. Em sucesso a resposta ecoa a, b e angle_c, acrescenta o lado c, os ângulos angle_a e angle_b em graus, angle_sum perto de cento e oitenta, area, perimeter, unit_angle em degrees, method SAS e um breve bloco formula documentando as formas fechadas. Validação falha —campo obrigatório ausente, número não finito, lado não positivo, ângulo no ou fora do intervalo aberto de zero a cento e oitenta, ou configuração numericamente degenerada— retorna invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um US$ 0,002 fixo por requisição bem-sucedida com unidade item e preço unitário marginal zero.
Dicas práticas, limites e buscas relacionadas
Mantenha os comprimentos de lado dentro da faixa positiva publicada até um trilhão para que produtos intermediários permaneçam finitos em precisão IEEE de dupla no Worker e no navegador. Como os ângulos restantes vêm do cosseno inverso após o terceiro lado ser conhecido, os estudantes podem recalcular cos A e cos B à mão com inteiros pequenos e alinhar a API linha a linha. Tarefas falhas que retornam invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que deixa scripts exploratórios baratos quando usuários digitam ângulos fora da faixa ao aprender o contrato. Checagens de ida e volta são fáceis: após resolver, confirme que angle_a mais angle_b mais angle_c é aproximadamente cento e oitenta graus e que a lei dos cossenos reconstrói c a partir de a, b e C dentro da tolerância de ponto flutuante.
Casos de integração
Checagens de lição e provas SAS
Dê aos estudantes dois lados e o ângulo incluído; compare o terceiro lado, a área e os ângulos restantes calculados à mão com um resultado determinístico de API ou do navegador gratuito.