Triângulo SAS
Lados de 3 e 4 que formam um ângulo de 90° fecham um triângulo com terceiro lado 5, área 6 e perímetro 12. Informe dois lados e o ângulo entre eles e receba o lado e os ângulos que faltam, a área e o perímetro. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 3
- B
- 4
- Ângulo incluído
- 90
- C
- 5
- Ângulo a
- 36,8698976458
- Ângulo b
- 53,1301023542
- Soma dos ângulos
- 180
Lado-ângulo-lado, escrito SAS, é o caso de congruência que fixa um triângulo único a partir de dois comprimentos e do ângulo que fica entre eles. Topógrafos, carpinteiros e estudantes encontram esses dados o tempo todo: duas arestas medidas e o canto que compartilham.
O que SAS significa e como as fórmulas travam o triângulo
SAS nomeia o caso de triângulo único em que você já conhece dois comprimentos de lado e o ângulo que fica entre esses dois lados, não um ângulo oposto a um deles. Essa distinção é o motivo de um resolvedor SAS dedicado. Quando o ângulo dado é oposto a um lado conhecido, você está no caso ambíguo SSA e pode haver zero, um ou dois triângulos.
Quando o ângulo é o canto incluído, a figura trava: um par de lados e a dobradiça entre eles determinam o terceiro lado, os outros dois ângulos internos, a área e o perímetro. O terceiro lado segue a lei dos cossenos. Se a e b são os lados conhecidos e C é o ângulo incluído em graus, converta C para radianos e calcule c como a raiz quadrada positiva de a ao quadrado mais b ao quadrado menos duas vezes a b vezes o cosseno de C.
A área é um meio a b vezes o seno de C, positiva exatamente quando C está estritamente entre zero e cento e oitenta graus. Os ângulos restantes em A e B também se recuperam com a lei dos cossenos, usando o cosseno inverso para que um ângulo incluído obtuso continue obtuso e não se dobre em um gêmeo agudo.
Uma checagem de sala é imediata: a igual a três, b igual a quatro, C igual a noventa graus deve fechar na hipotenusa de cinco, área seis e ângulos agudos complementares. Um par isósceles com ângulo incluído de sessenta graus fecha em um equilátero quando os lados coincidem. Cada passo é trigonometria elementar sobre três escalares, então o resultado é determinístico, sem iteração e sem depender do relógio ou de uma semente aleatória.
Dicas práticas, limites e quando SAS é o caso certo
No contrato público os ângulos são só em graus; converta de radianos no seu cliente se a pilha de sensores usar radianos. Ao ensinar, prefira exemplos emparelhados: três-quatro-noventa para um retângulo clássico; lados iguais com um ângulo incluído de sessenta graus para o caso equilátero; e um ângulo de cento e oitenta ou zero para demonstrar a rejeição dura que protege quem chama de uma figura de área nula.
Esta página atende quem busca um resolvedor de triângulo SAS ou uma calculadora de dois lados e ângulo incluído; não é uma ferramenta do caso ambíguo SSA e não inventará um segundo triângulo quando só se conhece um ângulo oposto. Prefira SAS quando o ângulo que você mediu é o canto entre as duas arestas medidas —típico em topografia, meias-esquadrias de carpintaria e problemas de fechamento de caminho—.
Se você já conhece três lados e só quer a área, a fórmula de Heron é outra busca; se conhece dois ângulos e um lado não incluído, use um resolvedor AAS em vez de forçar esses números neste contrato SAS.
Casos de uso
Topografia e quantitativo de obra com duas arestas e um canto
Transforme trechos de cerca ou comprimentos de muro mais o ângulo de canto incluído no lado de fechamento, na área de piso e nos ângulos internos sem um passe CAD à parte.
Ferramentas de jogo, CAD e fechamento de caminhos
Feche um caminho poligonal ou valide um fragmento de malha triangular quando dois comprimentos de aresta e o ângulo de dobradiça entre eles já são conhecidos no grafo de cena.
Perguntas frequentes
O que SAS significa em um resolvedor de triângulos?
SAS significa lado-ângulo-lado: dois comprimentos de lado e o ângulo incluído entre eles. Esses dados determinam de forma única o terceiro lado, os outros dois ângulos, a área e o perímetro quando o ângulo está entre 0° e 180° exclusive.
Como o terceiro lado é calculado?
Com a lei dos cossenos: c = sqrt(a² + b² − 2ab cos C), em que C é o ângulo incluído em graus convertido para radianos para o cosseno.
Por que ângulos incluídos de 0° ou 180° são rejeitados?
Esses valores zeram a área e achatam a figura a um segmento.
Isto resolve o caso ambíguo SSA?
Não. Esta capacidade é só SAS. SSA (dois lados e um ângulo não incluído) pode ser ambíguo e fica fora deste contrato.
Quanto custa o resolvedor de triângulo SAS?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/sas-triangle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":3,"b":4,"included_angle":90}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/sas-triangle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 3,
"b": 4,
"included_angle": 90
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/sas-triangle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 3,
"b": 4,
"included_angle": 90
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/sas-triangle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":3,"b":4,"included_angle":90}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"included_angle":90}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/sas-triangle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 3,
"b": 4,
"included_angle": 90
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.sas_triangle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Este resolvedor de triângulo SAS toma esses três números, aplica a lei dos cossenos ao terceiro lado desconhecido, recupera os dois ângulos internos restantes e devolve o triângulo completo —lados, ângulos, área e perímetro— como JSON determinístico. O ângulo incluído deve ficar estritamente entre zero e cento e oitenta graus; valores nesses extremos ou além achatam a figura a uma reta e são rejeitados como invalid_input. A mesma função pura alimenta a ferramenta gratuita do navegador e a via API pré-paga a US$ 0,002 por requisição bem-sucedida, de modo que checagens de lição e scripts de produção não discordam em um retângulo 3-4-90 nem em um fechamento isósceles.
Como chamar a API e o que a solução completa contém
Use em pipelines de lição de geometria, scripts de quantitativo de obra, ferramentas de nível de jogo, sandboxes de preparação de entrevista ou qualquer fluxo que precise de um SAS reproduzível sem instalar um pacote de álgebra em cada máquina. Envie um corpo JSON com três campos obrigatórios. O campo a é o primeiro comprimento de lado positivo; os aliases side_a e side1 são aceitos. O campo b é o segundo lado positivo; side_b e side2 mapeiam o mesmo significado. O campo included_angle é o ângulo incluído entre esses lados, medido em graus, estritamente maior que zero e estritamente menor que cento e oitenta; os aliases angle, angle_c e C são aceitos. Em sucesso a resposta ecoa a, b e included_angle, acrescenta o lado desconhecido c, os ângulos restantes angle_a e angle_b em graus, angle_sum perto de cento e oitenta, area, perimeter, unit_angle em degrees, method SAS e uma string formula com as formas fechadas. Validação falha —campo obrigatório ausente, número não finito, lado não positivo, ângulo incluído no ou fora do intervalo aberto de zero a cento e oitenta, ou configuração numericamente degenerada— retorna invalid_input e nunca é cobrada. O preço é um US$ 0,002 fixo por requisição bem-sucedida com unidade item. Mantenha os lados dentro da faixa positiva publicada até um trilhão para que produtos intermediários permaneçam finitos em precisão IEEE de dupla no Worker e no navegador.
Dicas práticas, limites e quando SAS é o caso certo
Como os ângulos restantes vêm do cosseno inverso depois que o terceiro lado é conhecido, os estudantes podem recalcular cos A e cos B à mão com inteiros pequenos e alinhar a API linha a linha. Tarefas falhas que retornam invalid_input não consomem saldo pré-pago, o que deixa scripts exploratórios baratos quando se digitam ângulos fora da faixa ao aprender o contrato. Checagens de ida e volta são simples: após resolver, confirme que angle_a mais angle_b mais included_angle é aproximadamente cento e oitenta graus e que a lei dos cossenos reconstrói c a partir de a, b e C dentro da tolerância de ponto flutuante.
Casos de integração
Checagens de lição e provas para problemas SAS
Dê aos estudantes dois lados e o ângulo incluído; compare o terceiro lado, os ângulos restantes e a área calculados à mão com um resultado determinístico da API ou do navegador gratuito.