Ângulo pela lei dos cossenos
Transforme três medidas de lado nos três ângulos do triângulo: os lados 3, 4 e 5 dão exatamente 90° oposto ao maior lado e dois ângulos agudos nos outros cantos. Medidas que não fecham um triângulo são recusadas. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- Comprimento do lado a
- 3
- Comprimento do lado b
- 4
- Comprimento do lado c
- 5
- Ângulo a
- 36,8698976458
- Ângulo b
- 53,1301023542
- Ângulo c
- 90
- Unidade dos ângulos
- deg
Quando você conhece os três lados de um triângulo plano e precisa dos ângulos internos, a lei dos cossenos é a ferramenta de forma fechada que os recupera sem desenho nem iteração. Esta calculadora aceita três comprimentos de lado positivos, verifica a desigualdade triangular estrita para que a figura possa fechar de fato, aplica a fórmula do cosseno oposta a cada lado e devolve os três ângulos em graus.
Como a lei dos cossenos encontra cada ângulo a partir de três lados
Em um triângulo plano a lei dos cossenos relaciona cada lado ao cosseno do ângulo oposto: o quadrado do lado a é igual ao quadrado de b mais o quadrado de c menos duas vezes b c vezes o cosseno do ângulo A, e a mesma identidade cicla para os demais vértices. Resolvendo para o cosseno do ângulo A obtém-se cosseno de A igual a b ao quadrado mais c ao quadrado menos a ao quadrado, tudo sobre duas vezes b c.
O arco cosseno desse valor dá o ângulo A em radianos; a conversão para graus multiplica por cento e oitenta sobre pi. A mesma fórmula com lados ciclados produz os ângulos B e C. Como toda quantidade é algébrica após as três multiplicações quadradas e os três arcos cosseno, o caminho é plenamente determinístico: os mesmos três lados positivos sempre produzem os mesmos três ângulos dentro do arredondamento de ponto flutuante.
Verificações clássicas de sala incluem o triângulo retângulo três-quatro-cinco, em que o ângulo oposto a cinco é exatamente noventa graus e os outros dois são o conhecido par de arctangentes que somam com noventa até cento e oitenta. Lados equiláteros de comprimento igual rendem sessenta graus em cada vértice. Casos obtusos aparecem quando um lado é longo o bastante para que o cosseno oposto seja negativo, e o arco cosseno reporta corretamente um ângulo maior que noventa graus.
O que você envia e o que recebe de volta
Após o parse, o serviço verifica que todo lado é estritamente positivo e que a desigualdade triangular estrita vale: a mais b maior que c, a mais c maior que b e b mais c maior que a. Se alguma dessas somas falhar, a mensagem de erro nomeia os três valores de lado para que clientes de formulário e scripts corrijam a entrada sem adivinhar se o problema era a igualdade ou qual par era curto.
Verificações de exemplo: lados três, quatro e cinco rendem noventa graus opostos à hipotenusa e ângulos agudos opostos aos catetos; lados um, um e três falham a desigualdade triangular; um lado zero ou negativo falha do mesmo modo. Valores de cosseno são limitados ao intervalo fechado de menos um a um antes do arco cosseno para que a deriva de ponto flutuante quase válida não produza NaN.
Use a ferramenta gratuita do navegador para checagens rápidas e depois chame o contrato idêntico a partir de scripts quando precisar de recuperação em massa de ângulos SSS sem reimplementar o portão da desigualdade em cada linguagem.
Onde a recuperação de ângulos SSS aparece no trabalho real
Cursos de trigonometria do ensino médio e da faculdade pedem com frequência que se encontrem os ângulos de um triângulo quando só se conhecem os três comprimentos de lado; uma calculadora confiável com checagem estrita da desigualdade triangular acelera a correção de lições e remove erros de planilha em que alguém aplica arccos a um cosseno ligeiramente fora do intervalo legal.
Fluxos de topografia e construção medem com frequência os três lados de um lote ou treliça e precisam dos ângulos internos antes de marcar rumos ou cortar juntas — um oráculo numérico compartilhado mantém notas de campo e scripts de escritório alinhados. Tutoriais de jogos e gráficos usam SSS quando três comprimentos de aresta definem uma face de malha; recuperar os ângulos apoia estimativa de normais, layout UV e depuração de restrições sem um resolvedor completo.
Se mais adiante você precisar de casos ambíguos ASA, SAS, AAS, SSA, área a partir dos lados ou entrada e saída em radianos, trate-os como intenções de busca separadas em vez de sobrecarregar esta página de ângulos pela lei dos cossenos.
Casos de uso
Conferência de lições e provas
Encontre os três ângulos internos a partir de comprimentos SSS e rejeite falhas da desigualdade triangular com erro claro em vez de NaN.
Triângulos de topografia e construção
A partir de três lados medidos de um lote ou treliça, recupere ângulos internos antes de marcar rumos ou cortar juntas.
Perguntas frequentes
O que esta calculadora computa?
Dados três comprimentos de lado (SSS), devolve os três ângulos internos em graus usando a lei dos cossenos.
Qual fórmula ela usa?
cos A = (b² + c² − a²) / (2bc), depois A = arccos(esse valor) em graus, e a mesma fórmula ciclada para os ângulos B e C.
O que acontece se os lados quebram a desigualdade triangular?
Um triângulo plano exige que a soma de quaisquer dois lados seja estritamente maior que o terceiro.
Os ângulos estão em graus ou em radianos?
Somente em graus. Converta para radianos você mesmo após a chamada se o seu pipeline precisar de radianos.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/law-of-cosines-angle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"side_a":3,"side_b":4,"side_c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/law-of-cosines-angle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"side_a": 3,
"side_b": 4,
"side_c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/law-of-cosines-angle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"side_a": 3,
"side_b": 4,
"side_c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/law-of-cosines-angle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"side_a":3,"side_b":4,"side_c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"side_a":3,"side_b":4,"side_c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/law-of-cosines-angle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"side_a": 3,
"side_b": 4,
"side_c": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.law_of_cosines_angle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Casos degenerados — lados não positivos, valores não finitos ou comprimentos que quebram a desigualdade triangular — são rejeitados com um erro invalid_input claro em vez de um NaN silencioso ou um conjunto de ângulos que não somam cento e oitenta graus. A ferramenta gratuita do navegador e a API paga compartilham uma única função pura, de modo que demos em sala e pipelines automatizados nunca divergem em silêncio sobre as mesmas entradas.
Como a lei dos cossenos encontra cada ângulo a partir de três lados
O serviço não itera, não amostra nem aproxima com séries; apenas valida, aplica as três fórmulas fechadas e arredonda as saídas a uma precisão estável para goldens JSON e testes unitários.
O que você envia e o que recebe de volta
Forneça três números finitos obrigatórios: side_a (aliases a, A, side1), side_b (aliases b, B, side2) e side_c (aliases c, C, side3), cada um um comprimento positivo em qualquer unidade linear coerente. Campos ausentes, strings não numéricas, NaN e Infinity são rejeitados com invalid_input e não são cobrados. Em caso de sucesso a resposta JSON ecoa os lados normalizados, devolve angle_a oposto a side_a, angle_b oposto a side_b e angle_c oposto a side_c em graus, define unit_angles como deg e inclui method como a string law_of_cosines para documentação em logs e interfaces de ensino. O contrato é JSON estável adequado a testes unitários, conferidores de lição e pipelines em lote.
Onde a recuperação de ângulos SSS aparece no trabalho real
Como esta capacidade é um motor de parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.
Casos de integração
Ajudas de geometria em malhas e jogos
Recupere ângulos de face quando três comprimentos de aresta são conhecidos, com o mesmo caminho da lei dos cossenos no navegador e na API.