Lado do triângulo pela lei dos cossenos
Lados de 3 e 4 com um ângulo de 90° entre eles deixam um terceiro lado de 5. Digite dois lados e o ângulo entre eles, em graus, e receba o lado oposto pela lei dos cossenos, seja o ângulo agudo, reto ou obtuso. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Lado a
- 3
- Lado b
- 4
- Ângulo
- 90
- Lado desconhecido
- 5
Uma calculadora de lado de triângulo que usa a lei dos cossenos recupera o lado desconhecido oposto a um ângulo incluído quando os dois lados que o cercam já são conhecidos. Levantamentos, layouts de marcenaria e tarefas de trigonometria se reduzem à mesma forma fechada: o quadrado do lado desconhecido é a soma dos quadrados dos lados dados menos o dobro do produto deles vezes o cosseno do ângulo incluído.
O que a lei dos cossenos calcula para dois lados e o ângulo incluído
A lei dos cossenos relaciona os três lados de qualquer triângulo euclidiano ao cosseno de um ângulo interior. Quando os dados conhecidos são dois lados e o ângulo que eles cercam, a identidade é escrita para o lado desconhecido oposto: o quadrado desse lado desconhecido é a soma dos quadrados dos lados dados menos o dobro do produto deles vezes o cosseno do ângulo incluído. A raiz quadrada positiva produz o comprimento que esta calculadora devolve.
A mesma fórmula cobre ângulos incluídos agudos, retos e obtusos porque o cosseno é positivo, zero ou negativo nesses três intervalos, de modo que um ângulo incluído obtuso alonga automaticamente o lado oposto. Um ângulo incluído reto reduz a identidade ao teorema de Pitágoras, por isso uma entrada três-quatro-noventa recupera um lado desconhecido de cinco. O ângulo incluído precisa ser um ângulo interior de um triângulo não degenerado, ou seja, estritamente maior que zero graus e estritamente menor que cento e oitenta graus.
Zero ou cento e oitenta achatariam a figura em um segmento; um ângulo fora desse intervalo aberto não é um ângulo interior. Ambos os lados dados precisam ser comprimentos finitos positivos na mesma unidade. Esta landing devolve apenas o comprimento do lado desconhecido, as entradas ecoadas e a cadeia da fórmula: não calcula os ângulos restantes nem a área, de modo que a página se alinha com a busca de um lado de triângulo a partir de dois lados e do ângulo incluído, e não com um solucionador SAS completo.
Onde a lei dos cossenos poupa tempo
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de lado pela lei dos cossenos para que o aluno verifique o comprimento oposto que falta sem misturar seno e cosseno nem esquecer de converter graus em radianos. Ferramentas de construção e layout convertem dois membros medidos mais um canto incluído declarado no vão restante antes de pedir estoque ou assentar uma mão francesa.
Croquis de levantamento e GIS costumam conhecer duas pernas de uma poligonal e o ângulo interior na estação: a mesma identidade recupera o lado de fechamento sem abrir um solucionador completo de triângulos que também despeja área e ângulos sobrantes que quem chama não quer. Motores de jogo e sandboxes de física geram uma terceira aresta a partir dos dois lados que o designer já guardou e do rumo incluído que o briefing de arte nomeou.
Geradores de prova e plugins LMS precisam de um oráculo determinístico que recuse um ângulo de zero, cento e oitenta ou duzentos em vez de pegar um resto envelopado e marcar como válido um triângulo achatado. A landing é de propósito mais estreita do que um solucionador SAS completo: não devolve os ângulos restantes nem a área, de modo que a página se alinha com a busca do lado desconhecido sozinho.
Casos de uso
Checagens escolares da lei dos cossenos
O aluno informa dois lados e o ângulo incluído para verificar o comprimento oposto que falta frente aos exercícios SAS do livro, inclusive o caso reto que se reduz a Pitágoras.
Mão francesa ou vão a partir de dois membros e um canto
Converta dois membros medidos mais um canto incluído declarado no vão restante antes de pedir estoque, cortar uma mão francesa ou fechar o lado de uma poligonal.
Correção automática de provas e LMS
Pontue itens de lado SAS com um oráculo determinístico que recusa um ângulo incluído fora de 0 a 180 graus em vez de envelopar ou tomar valores absolutos.
Perguntas frequentes
O que acontece se o ângulo incluído não estiver entre 0 e 180 graus?
Um ângulo interior incluído precisa estar estritamente entre 0 e 180 graus para formar um triângulo não degenerado; essas falhas não são cobradas.
Isso é a mesma coisa que a lei dos senos ou um solucionador SAS completo?
Não. Esta landing recupera apenas o lado desconhecido oposto ao ângulo incluído pela lei dos cossenos. Não toma um par lado-ângulo opostos (lei dos senos) e não devolve os ângulos restantes nem a área.
Um ângulo incluído de 90 graus usa Pitágoras?
Sim, como caso particular. Uma entrada 3-4-90, portanto, devolve 5.
Qual é a fórmula da lei dos cossenos para o lado que falta?
O quadrado do lado que falta é igual à soma dos quadrados dos dois lados conhecidos menos duas vezes o produto deles vezes o cosseno do ângulo entre eles. O lado é a raiz quadrada positiva desse valor.
Por que um ângulo obtuso deixa o terceiro lado mais comprido?
Porque o cosseno de um ângulo acima de 90° é negativo, então o último termo da fórmula soma comprimento em vez de tirar. Quanto mais aberto o ângulo entre os dois lados, mais comprido fica o lado que fecha o triângulo.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/triangle-side-angle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"side_a":3,"side_b":4,"angle":90}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/triangle-side-angle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"side_a": 3,
"side_b": 4,
"angle": 90
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/triangle-side-angle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"side_a": 3,
"side_b": 4,
"angle": 90
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/triangle-side-angle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"side_a":3,"side_b":4,"angle":90}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"side_a":3,"side_b":4,"angle":90}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/triangle-side-angle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"side_a": 3,
"side_b": 4,
"angle": 90
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.triangle_side_angle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_side | 1000000000000 |
min_angle_deg | 0 |
max_angle_deg | 180 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Este endpoint aceita esses dois comprimentos positivos e um ângulo interior em graus, aplica essa identidade e devolve o comprimento do lado desconhecido. Um ângulo que não está estritamente entre 0 e 180 graus não pode ficar dentro de um triângulo não degenerado, então a tarefa falha com invalid_input e não é cobrada.
Contrato de entrada, forma da resposta e comportamento em erros
Exemplo: dois lados iguais de cinco com um ângulo incluído de sessenta recuperam o lado restante de um triângulo isósceles recortado de um losango. Você fornece ambos os lados e o ângulo incluído já em uma única unidade de comprimento coerente e em graus. Envie um corpo JSON com três números finitos obrigatórios: side_a e side_b, os dois comprimentos positivos conhecidos que cercam o ângulo dado, e angle, o ângulo interior incluído em graus. Cada campo pode chegar como número JSON ou como cadeia numérica. O campo side_a também aceita os aliases a e side1; side_b aceita b e side2; angle aceita included_angle, angle_c e C. Um campo ausente, uma cadeia vazia, Infinity, NaN ou um token que não seja um decimal falham com invalid_input nomeando o campo. Um lado dado nulo ou negativo falha com invalid_input afirmando que se exige um comprimento de lado finito positivo. Um ângulo incluído que não está estritamente entre 0 e 180 graus falha com invalid_input afirmando que o ângulo deve estar entre 0 e 180 graus; essas falhas de validação não são cobradas. Em caso de sucesso o corpo devolve unknown_side como o comprimento recuperado, ecoa os dois lados e o ângulo incluído, reescreve a identidade no campo formula e fixa method em law_of_cosines para que os clientes distingam esta landing de um par pela lei dos senos ou de uma inversão de ângulo a partir de três lados. Exemplo: side_a igual a três, side_b igual a quatro e angle igual a noventa produz unknown_side cinco. Combine o JSON estruturado com o seu próprio código de desenho se precisar de um croqui; este endpoint só devolve números e não emite SVG nem conversão de unidades.
Onde uma API de lado de triângulo a partir do ângulo agrega valor
Como a implementação é parse pura de tier A, cada chamada bem-sucedida custa o preço-base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída. Mantenha as solicitações pequenas, fixe o unknown_side arredondado nos testes e você obtém geometria reproduzível para tarefa, edge workers e scripts de design sem levantar uma infraestrutura própria de matemática simbólica.
Perguntas técnicas
Como achar um lado de um triângulo a partir de dois lados e do ângulo incluído?
Envie dois lados finitos positivos (side_a, side_b) e o ângulo interior incluído em graus (angle). A API devolve unknown_side = sqrt(side_a² + side_b² − 2·side_a·side_b·cos(angle)).
Quanto custa a calculadora de lado de triângulo a partir do ângulo?
A ferramenta do navegador é gratuita. As solicitações API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.