ForHosting KIT · Mathematik

SAS-Dreiecksrechner: 3. Seite, Fläche und Winkel

Zwei Seiten und der Winkel dazwischen ergeben das ganze Dreieck: Die Seiten 3 und 4 mit 90° dazwischen schließen sich mit einer dritten Seite von 5, einer Fläche von 6 und Winkeln von 36,869897645844° und 53,130102354156°. Kostenlos in Ihrem Browser.

Kostenlos
Läuft in Ihrem Browser
Ohne Anmeldung
Ihre Daten bleiben auf Ihrem Gerät

Im Browser ausführen – kostenlos API ansehen

Nutzen Sie es über WebAPIE-MailTelegramApp bald

Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

Länge der ersten Seite: 3
Länge der zweiten Seite: 4
Winkel c: 90

Erhalten Sie

C: 5
Winkel a: 36,8698976458
Winkel b: 53,1301023542
Winkelsumme: 180

Der Fall Seite-Winkel-Seite (SAS) ist der klassische Weg, ein Dreieck festzulegen, wenn Sie zwei Längen und den Winkel dazwischen kennen: ein Vermesser misst zwei Zaunabschnitte und die Ecke; ein Schüler erhält die Seiten a und b mit eingeschlossenem Winkel C; ein Spiel- oder CAD-Pfad braucht die Schließkante, die Fläche und die beiden anderen Winkel ohne freihändiges Skizzieren. Diese Fähigkeit wendet den Kosinussatz für die unbekannte dritte Seite an, die Halb-ab-Sinus-Formel für die Fläche und ein zweites Paar Kosinus-Winkelrückgewinnungen für die restlichen Ecken. Der eingeschlossene Winkel muss strikt zwischen null und einhundertachtzig Grad liegen, damit die Figur nicht entartet ist.

Was SAS bedeutet und wie die Formeln arbeiten

SAS steht für Seite-Winkel-Seite: Sie geben zwei Seitenlängen und den Winkel an, der zwischen diesen beiden Seiten sitzt, nicht einen Winkel gegenüber einer von ihnen. Dieser Unterschied zählt, weil der mehrdeutige SSA-Fall null, ein oder zwei Dreiecke liefern kann, während SAS immer ein eindeutiges Dreieck bestimmt, wenn der eingeschlossene Winkel strikt zwischen null und einhundertachtzig Grad liegt und beide Seiten positiv sind.

Die dritte Seite folgt dem Kosinussatz: c zum Quadrat gleicht a zum Quadrat plus b zum Quadrat minus zwei a b cos von C, also ist c die positive Quadratwurzel dieser Größe. Die Fläche ist ein halb mal a mal b mal sin von C, null nur an den entarteten Endpunkten null und einhundertachtzig Grad —genau die Fälle, die dieses Werkzeug ablehnt—.

Sobald c bekannt ist, werden die Winkel bei A und B ebenfalls mit dem Kosinussatz gewonnen: cos A gleicht b zum Quadrat plus c zum Quadrat minus a zum Quadrat, alles über zwei b c, und ebenso für B. Den Arkuskosinus statt allein dem Sinussatz zu nutzen hält stumpfe eingeschlossene Winkel gutmütig, weil der Sinus um neunzig Grad symmetrisch ist, während der Kosinus die Unterscheidung spitz versus stumpf bewahrt.

Eine Rechtwinkligkeitsprüfung ist sofort: a gleich drei, b gleich vier, C gleich neunzig Grad ergibt c gleich fünf, Fläche sechs und komplementäre spitze Winkel bei A und B. Ein gleichschenkliges Beispiel mit gleichen Seiten und sechzig Grad eingeschlossenem Winkel schließt zu einem gleichseitigen Dreieck, wenn die Seiten passen. Jeder Schritt ist elementare Trigonometrie auf drei Skalaren, ohne Iteration, ohne Sampling und ohne Abhängigkeit von der Wanduhr.

Anwendungsfälle

Vermessung und Bauaufmaß aus zwei Kanten und einer Ecke

Wandeln Sie gemessene Zaunläufe oder Wandlängen plus den eingeschlossenen Eckwinkel in die Schließseite, Bodenfläche und Innenwinkel um — ohne separaten CAD-Durchlauf.

Spiel-, CAD- und Pfadschließwerkzeuge

Schließen Sie einen Polygonzug oder prüfen Sie ein Dreiecksnetzfragment, wenn zwei Kantenlängen und der Scharnierwinkel dazwischen im Szenengraph bereits bekannt sind.

Häufige Fragen

Was bedeutet SAS in einem Dreiecksrechner?

SAS bedeutet Seite-Winkel-Seite: zwei Seitenlängen und der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel. Diese Daten bestimmen eindeutig die dritte Seite, die Fläche und die beiden anderen Winkel, wenn der Winkel strikt zwischen 0° und 180° liegt.

Wie wird die dritte Seite berechnet?

Mit dem Kosinussatz: c = sqrt(a² + b² − 2ab cos C), wobei C der eingeschlossene Winkel in Grad ist, für den Kosinus in Radiant umgerechnet.

Warum werden Winkel von 0° oder 180° abgelehnt?

Diese Werte machen die Fläche null und kollabieren die Figur zu einer Strecke.

Löst dies den mehrdeutigen SSA-Fall?

Nein. Diese Fähigkeit ist nur SAS. SSA (zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel) kann mehrdeutig sein und liegt außerhalb dieses Vertrags.

Wie wird die Fläche aus zwei Seiten und dem Winkel berechnet?

Die Fläche ist die Hälfte des Produkts der beiden Seiten mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Bei den Seiten 3 und 4 mit 90° dazwischen ergibt das eine Fläche von 6.

Warum muss der Winkel zwischen 0 und 180 Grad liegen?

Bei genau 0 oder 180 Grad liegen die beiden Seiten auf einer Linie, die Fläche wäre null und es entstünde kein Dreieck. Deshalb werden diese Werte abgelehnt; stumpfe Winkel dazwischen sind erlaubt.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-sas

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-sas \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":3,"b":4,"angle_c":90}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-sas", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 3,
    "b": 4,
    "angle_c": 90
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-sas",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 3,
    "b": 4,
    "angle_c": 90
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-sas", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":3,"b":4,"angle_c":90}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":3,"b":4,"angle_c":90}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-sas", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": 3,
  "b": 4,
  "angle_c": 90
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "geom.triangle_sas",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Limits

`max_side`	1000000000000
`min_angle_deg`	0
`max_angle_deg`	180

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Die Ergebnisse sind deterministisches JSON —kein Computeralgebrasystem, keine Zufallsseeds und dieselbe reine Lösungsfunktion im kostenlosen Browser-Werkzeug und im vorausbezahlten API-Pfad—, sodass Hausaufgabenprüfungen, Bewertungsskripte und Produktionspipelines dieselben Zahlen sehen.

So rufen Sie die API auf und was zurückkommt

Nutzen Sie es für Geometrie-Hausaufgaben-Pipelines, Bauaufmaß-Skripte, Game-Level-Werkzeuge, Interview-Prep-Sandkästen oder jeden Workflow, der eine reproduzierbare SAS-Lösung braucht, ohne auf jeder Maschine ein Computeralgebrapaket zu installieren. Senden Sie einen JSON-Körper mit drei Feldern. Feld a ist die erste positive Seitenlänge; die Aliasse side_a und side1 werden akzeptiert. Feld b ist die zweite positive Seite; side_b und side2 bedeuten dasselbe. Feld angle_c ist der eingeschlossene Winkel zwischen diesen Seiten in Grad, strikt größer als null und strikt kleiner als einhundertachtzig; die Aliasse C, included_angle und angle werden akzeptiert. Bei Erfolg spiegelt die Antwort a, b und angle_c, fügt Seite c, Winkel angle_a und angle_b in Grad, angle_sum nahe einhundertachtzig, area, perimeter, unit_angle auf degrees, method SAS und einen kurzen Formelblock mit den geschlossenen Formen hinzu. Fehlgeschlagene Validierung —fehlendes Pflichtfeld, nicht-endliche Zahl, nicht-positive Seite, Winkel am oder außerhalb des offenen Intervalls null bis einhundertachtzig, oder numerisch entartete Konfiguration— liefert invalid_input und wird nie berechnet. Der Preis ist pauschal $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit Einheit item und null marginalem Stückpreis.

Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen

Winkel im öffentlichen Vertrag sind nur in Grad; wandeln Sie im Client aus Radiant um, wenn Ihr Sensorsystem Radiant nutzt. Beim Unterrichten bevorzugen Sie gepaarte Beispiele: drei-vier-neunzig für ein klassisches rechtwinkliges Dreieck; gleiche Seiten mit sechzig Grad eingeschlossenem Winkel für den gleichseitigen Fall; und ein Winkel von einhundertachtzig oder null, um den harten Ablehnungspfad zu zeigen, der Aufrufer vor einer Nullflächenfigur schützt. Bevorzugen Sie SAS, wenn der gemessene Winkel die Ecke zwischen den beiden gemessenen Kanten ist —typisch in Vermessung, Gehrungsschnitten und Pfadschließproblemen—. Halten Sie Seitenlängen im veröffentlichten positiven Bereich bis zu einer Billion, damit Zwischenprodukte in IEEE-Doppelpräzision auf dem Worker und im Browser endlich bleiben. Weil restliche Winkel aus dem Arkuskosinus nach bekannter dritter Seite kommen, können Lernende cos A und cos B mit kleinen ganzen Zahlen von Hand nachrechnen und die API Zeile für Zeile abgleichen. Diese Seite richtet sich an Personen, die einen SAS-Dreiecksrechner oder einen Löser für zwei Seiten und eingeschlossenen Winkel suchen; es ist kein SSA-Mehrdeutigkeitswerkzeug und erfindet kein zweites Dreieck, wenn nur ein gegenüberliegender Winkel bekannt ist. Fehlgeschlagene Aufgaben mit invalid_input verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben, was Erkundungsskripte günstig hält, wenn Nutzer beim Lernen des Vertrags Winkel außerhalb des Bereichs tippen. Round-Trip-Prüfungen sind einfach: bestätigen Sie nach dem Lösen, dass angle_a plus angle_b plus angle_c ungefähr einhundertachtzig Grad ist und dass der Kosinussatz c aus a, b und C innerhalb der Gleitkommatoleranz rekonstruiert.

Integrationsbeispiele

Hausaufgaben- und Prüfungskontrollen für SAS-Aufgaben

Geben Sie Lernenden zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel; vergleichen Sie ihre handgerechnete dritte Seite, Fläche und restlichen Winkel mit einem deterministischen API- oder kostenlosen Browserergebnis.

Technische Fragen

Ist der SAS-Dreiecksrechner kostenlos?

Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; fehlgeschlagene Aufgaben werden nie berechnet.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →