AAA-Dreieck-Rechner: drei Winkel und eine Seite, Sinussatz

Der AAA-Dreiecksrechner nimmt die drei Innenwinkel eines Dreiecks und eine bekannte Seitenlänge entgegen und liefert die Längen der beiden anderen Seiten. Drei Winkel allein bestimmen die Form eines Dreiecks, aber nicht seine Größe — unendlich viele ähnliche Dreiecke teilen dieselben Winkel —, daher liefert die eine Seite den fehlenden Maßstab. Der Solver prüft zuerst, ob Ihre drei Winkel tatsächlich 180 Grad ergeben, und weist die Eingabe mit einer klaren Fehlermeldung zurück, wenn nicht; danach wendet er den Sinussatz an, um jede unbekannte Seite mit stabiler Gleitkommapräzision zu berechnen.

Warum drei Winkel allein nicht genügen

Im Geometrieunterricht lernen Sie, dass zwei Dreiecke mit denselben drei Winkeln ähnlich sind: Sie haben identische Formen, können aber beliebig groß sein. Ein 30-60-90-Geodreieck und ein 30-60-90-Verkehrsschild folgen exakt derselben Trigonometrie; nur ihr Maßstab unterscheidet sich. Deshalb fragt der AAA-Dreiecksrechner zusätzlich zu den drei Winkeln nach einer Seitenlänge.

Die Winkel legen jedes Verhältnis des Dreiecks fest, und die bekannte Seite wandelt diese Verhältnisse in absolute Längen um. Ohne sie hat die Frage „Wie lang sind die anderen Seiten?“ unendlich viele richtige Antworten.

Mit ihr gibt es genau eine. Darin unterscheidet sich AAA auch von den Fällen ASA und AAS: Dort wird der dritte Winkel aus zwei gegebenen Winkeln abgeleitet, während Sie hier alle drei selbst angeben — was die Validierung zu Ihrer Aufgabe und zur ersten Pflicht dieses Werkzeugs macht. Wenn Sie eine Dachneigung, eine Grundstücksgrenze oder das Sichtfeld einer Kamera vermessen, kennen Sie oft alle drei Winkel aus Winkelmesser oder Konstruktionszeichnung, bevor Sie irgendeine Seite kennen; der AAA-Fall tritt in der Praxis also ständig auf.

Wie der Sinussatz die Seiten liefert

Sobald die Winkel validiert sind, ist die Berechnung eine direkte Anwendung des Sinussatzes: In jedem Dreieck ergibt jede Seite geteilt durch den Sinus ihres Gegenwinkels dasselbe Verhältnis. Bei gegebener Seite a gegenüber Winkel A ist dieses gemeinsame Verhältnis a / sin(A). Jede weitere Seite ist dann dieses Verhältnis multipliziert mit dem Sinus ihres eigenen Gegenwinkels, also b = a · sin(B) / sin(A) und c = a · sin(C) / sin(A).

Winkel werden in Grad akzeptiert und zurückgegeben, denn so liefern Zeichnungen, Winkelmesser und Vermessungsinstrumente sie. Jeder Winkel muss strikt zwischen 0 und 180 Grad liegen, und die bekannte Seite muss eine positive, endliche Zahl sein; entartete oder unmögliche Eingaben werden abgelehnt, bevor irgendeine Trigonometrie läuft — Sie erhalten also nie eine plausibel wirkende Antwort, die aus einem Dreieck berechnet wurde, das gar nicht existieren kann.

Validierung: Die Winkelsumme ist eine harte Grenze

Das entscheidende Merkmal dieser Fähigkeit ist, dass sie inkonsistente Eingaben ablehnt. Ergeben die drei von Ihnen angegebenen Winkel etwas anderes als 180 Grad — 179.9 durch eine gerundete Messung, 181 durch einen Tippfehler oder 150 durch einen Rechenfehler —, schlägt die Anfrage mit einem expliziten Fehler fehl, der die tatsächliche Summe nennt, und es wird Ihnen nichts berechnet. Eine kleine numerische Toleranz absorbiert Darstellungsrauschen der Gleitkommaarithmetik, aber alles, was ein Mensch als falsch erkennen würde, wird zurückgewiesen.

Das ist wichtiger, als es klingt: Ein stillschweigendes „Korrigieren“ falscher Winkel durch Neuskalierung würde Seiten für ein Dreieck liefern, nach dem Sie nie gefragt haben, und im Bauwesen, in der Fertigung oder in der Navigation ist genau diese Art stiller Korrektur der Weg, auf dem teure Fehler in die Welt gelangen.