Calcolatore di triangoli AAA: tre angoli e un lato, legge dei seni

Il calcolatore di triangoli AAA prende i tre angoli interni di un triangolo e la lunghezza di un lato noto, e restituisce le lunghezze degli altri due lati. Tre angoli da soli determinano la forma di un triangolo ma non la sua dimensione — un'infinita famiglia di triangoli simili condivide gli stessi angoli — quindi il lato fornisce la scala mancante. Il solutore verifica prima che i tre angoli sommino effettivamente a 180 gradi e rifiuta l'input con un errore chiaro in caso contrario, poi applica la legge dei seni per calcolare ogni lato ignoto con precisione in virgola mobile stabile.

Perché tre angoli da soli non bastano

Nelle lezioni di geometria si impara che due triangoli con gli stessi tre angoli sono simili: hanno forme identiche ma possono avere qualsiasi dimensione. Una squadra 30-60-90 e un cartello stradale 30-60-90 obbediscono esattamente alla stessa trigonometria; cambia solo la scala. Ecco perché il calcolatore di triangoli AAA chiede la lunghezza di un lato oltre ai tre angoli.

Gli angoli fissano ogni proporzione del triangolo, e il lato noto converte quelle proporzioni in lunghezze assolute. Senza di esso, la domanda «quanto sono lunghi gli altri lati?» ha infinitamente molte risposte corrette.

Con esso, ne ha esattamente una. Questo è anche ciò che distingue il caso AAA dai casi ASA e AAS: in quelli, il terzo angolo si ricava da due angoli dati, mentre qui Lei fornisce tutti e tre — il che rende la validazione una Sua responsabilità, e il primo compito di questo strumento.

Se sta misurando la pendenza di un tetto, il confine di un appezzamento o il campo visivo di una fotocamera, spesso conoscerà tutti e tre gli angoli da un goniometro o da un disegno tecnico prima di conoscere qualsiasi lato, quindi il caso AAA ricorre costantemente nella pratica.

Come la legge dei seni produce i lati

Una volta convalidati gli angoli, il calcolo è un'applicazione diretta della legge dei seni: in qualsiasi triangolo, ogni lato diviso per il seno dell'angolo opposto dà lo stesso rapporto. Dato il lato a opposto all'angolo A, quel rapporto condiviso è a / sin(A). Ogni altro lato è quindi quel rapporto moltiplicato per il seno del proprio angolo opposto, quindi b = a · sin(B) / sin(A) e c = a · sin(C) / sin(A).

Gli angoli sono accettati e restituiti in gradi, perché è così che disegni, goniometri e strumenti di rilevamento li riportano. Ogni angolo deve essere strettamente compreso tra 0 e 180 gradi, e il lato noto deve essere un numero positivo e finito; input degeneri o impossibili vengono rifiutati prima che venga eseguita qualsiasi trigonometria, così non riceverà mai una risposta dall'aspetto plausibile calcolata da un triangolo che non può esistere.

Validazione: la somma degli angoli è un vincolo rigido

La caratteristica distintiva di questa capacità è che rifiuta input incoerenti. Se i tre angoli che fornisce sommano a un valore diverso da 180 gradi — 179.9 da una misura arrotondata, 181 da un refuso, o 150 da un errore di calcolo — la richiesta fallisce con un errore esplicito che indica la somma effettiva, e non Le viene addebitato nulla. Una piccola tolleranza numerica assorbe il rumore di rappresentazione in virgola mobile, ma qualsiasi cosa che una persona considererebbe sbagliata viene rifiutata.

Questo conta più di quanto sembri: «correggere» silenziosamente angoli errati riscalandoli produrrebbe i lati di un triangolo che Lei non ha mai richiesto, e nell'edilizia, nella meccanica o nella navigazione quel tipo di correzione silenziosa è come nascono gli errori costosi.