Calculadora de triângulos AAA: três ângulos e um lado, lei dos senos

A calculadora de triângulo AAA recebe os três ângulos internos de um triângulo e um comprimento de lado conhecido, e devolve os comprimentos dos outros dois lados. Três ângulos sozinhos determinam a forma de um triângulo, mas não o seu tamanho — uma família infinita de triângulos semelhantes compartilha os mesmos ângulos —, por isso o lado único fornece a escala que falta. O resolvedor primeiro verifica se os seus três ângulos realmente somam 180 graus e rejeita a entrada com um erro claro quando não somam; em seguida, aplica a lei dos senos para calcular cada lado desconhecido com precisão estável de ponto flutuante.

Por que três ângulos não bastam por si só

Na aula de geometria você aprende que dois triângulos com os mesmos três ângulos são semelhantes: têm formas idênticas, mas podem ter qualquer tamanho. Um esquadro de 30-60-90 e uma placa de trânsito de 30-60-90 obedecem exatamente à mesma trigonometria; apenas a escala difere. É por isso que a calculadora de triângulo AAA pede um comprimento de lado além dos três ângulos.

Os ângulos fixam todas as proporções do triângulo, e o lado conhecido converte essas proporções em comprimentos absolutos. Sem ele, a pergunta 'qual é o comprimento dos outros lados?' tem infinitas respostas corretas.

Com ele, há exatamente uma. Isso também é o que distingue o AAA dos casos ASA e AAS: neles, o terceiro ângulo é derivado de dois ângulos dados, enquanto aqui você mesmo fornece os três — o que torna a validação sua responsabilidade e a primeira tarefa desta ferramenta.

Se você está medindo a inclinação de um telhado, o limite de um terreno ou o campo de visão de uma câmera, muitas vezes conhecerá os três ângulos por um transferidor ou um desenho de projeto antes de conhecer qualquer lado, de modo que o caso AAA aparece constantemente na prática.

Como a lei dos senos produz os lados

Uma vez validados os ângulos, o cálculo é uma aplicação direta da lei dos senos: em qualquer triângulo, cada lado dividido pelo seno do ângulo oposto produz a mesma razão. Dado o lado a oposto ao ângulo A, essa razão compartilhada é a / sin(A). Cada outro lado é então essa razão multiplicada pelo seno do seu próprio ângulo oposto, de modo que b = a · sin(B) / sin(A) e c = a · sin(C) / sin(A).

Os ângulos são aceitos e devolvidos em graus, porque é assim que desenhos, transferidores e instrumentos de agrimensura os informam. Cada ângulo deve estar estritamente entre 0 e 180 graus, e o lado conhecido deve ser um número positivo e finito; entradas degeneradas ou impossíveis são rejeitadas antes de qualquer trigonometria, de modo que você nunca recebe uma resposta de aparência plausível calculada a partir de um triângulo que não pode existir.

Validação: a soma dos ângulos é uma barreira rígida

A característica definidora desta capacidade é que ela recusa entradas inconsistentes. Se os três ângulos que você fornece somam qualquer valor diferente de 180 graus — 179.9 de uma medição arredondada, 181 de um erro de digitação ou 150 de um deslize aritmético —, a requisição falha com um erro explícito que informa a soma real, e você não é cobrado por ela. Uma pequena tolerância numérica absorve o ruído de representação de ponto flutuante, mas qualquer coisa que um humano consideraria errada é rejeitada.

Isso importa mais do que parece: 'corrigir' silenciosamente ângulos ruins reescalonando-os produziria lados para um triângulo sobre o qual você nunca perguntou, e na construção civil, na usinagem ou na navegação esse tipo de correção silenciosa é como erros caros chegam à produção.