ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة مساحة المضلع النجمي

احصل على المساحة المملوءة لنجمة منتظمة من عدد رؤوسها وكثافتها ونصف القطر حتى الرؤوس: النجمة الخماسية الكلاسيكية {5/2} على دائرة نصف قطرها 1 تغطي 1.122569941449. مفيدة للشارات والقص بالليزر والواجبات. مجانية في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

عدد الرؤوس الخارجية: 5
الكثافة: 2
نصف القطر: 1

تحصل على

رمز شلافلي: {5/2}
نصف القطر الداخلي: 0.3819660113
المساحة: 1.1225699414
مساحة الشكل المحدَّب: 2.3776412907

تظهر المضلعات النجمية المنتظمة مثل النجمة الخماسية الكلاسيكية {5/2}، والنجمتين السباعيتين {7/2} و{7/3}، وأشكال أكثف مثل {9/4} في أنظمة التصميم، وواجبات الهندسة، وزخارف التصميم بالحاسوب، وفنون الألعاب، وأنماط التصنيع. تأخذ هذه القدرة ثلاثة أرقام—كم رأساً خارجياً للنجمة، وكثافة شليفلي التي تحدّد أي الرؤوس تُوصَل، ونصف القطر المحيط من المركز إلى الرأس—وتعيد المساحة المستوية المملوءة لتلك النجمة المنتظمة مع نصف قطر الوادي الداخلي، ورمز شليفلي، ومساحة المضلع المنتظم المحدّب ذي n أضلاع على الدائرة نفسها للمقارنة. الخوارزمية مثلثات صرفة: حتمية، دون اتصال، ومتطابقة في أداة المتصفح المجانية ومسار الواجهة المدفوع.

ما المضلع النجمي المنتظم وكيف تعمل الكثافة

يُكتَب المضلع النجمي المنتظم برمز شليفلي {n/d}، حيث n عدد الرؤوس المتباعدة بانتظام على دائرة وd الكثافة: انطلاقاً من أي رأس، ترسم وتراً مستقيماً إلى الرأس البعيد d خطوات، ثم تتابع حتى ينغلق المسار. حين تساوي d واحداً يكون المسار المضلع المنتظم المحدّب المعتاد ذا n أضلاع. وحين تكون d اثنين على الأقل وgcd(n, d) يساوي واحداً، يشكّل المسار نجمة مفردة غير محدّبة تتقاطع أضلاعها، فتنشأ أشواك خارجية ووديان داخلة.

النجمة الخماسية الكلاسيكية هي {5/2}؛ وتقبل سبعة رؤوس نجمتين غير متكافئتين، {7/2} و{7/3}، بحدّة أشواك مختلفة ومساحات مختلفة لنصف القطر المحيط نفسه. إن كان gcd(n, d) أكبر من واحد—مثل {6/2} أو {10/4}—تتفكّك البنية إلى عدة مضلعات متراكبة (مركّب) لا نجمة واحدة متّصلة. تشترط هذه الحاسبة أن يكون n وd أوّليين فيما بينهما كي تشير النتيجة دائماً إلى نجمة منتظمة مفردة (أو حالة المحدّب {n/1}).

كما تُطبَّع الكثافة في المدى من واحد إلى floor((n−1)/2)، لأن {n/d} و{n/(n−d)} يصفان الشكل نفسه مقطوعاً باتجاهي خطوة متعاكسين. يمنع فهم الكثافة مبكراً الخطأ الشائع في معاملة كل ”نجمة ذات n رؤوس“ الشكلَ نفسه: نجمتان بعدد الأشواك نفسه لكن بكثافتين مختلفتين قد تكونان بمساحتين مملوءتين مختلفتين جداً على الدائرة نفسها.

صيغة المساحة والدقة والمركّبات والحدود

الحدّ المملوء للنجمة المنتظمة {n/d} هو مضلع منتظم متساوي الأضلاع ذو 2n ضلعاً يناوب أشواكاً خارجية عند نصف القطر المحيط R مع وديان عند نصف قطر داخلي r = R · cos(π d / n) / cos(π (d − 1) / n). تُقرَّب النتائج إلى اثنتي عشرة منزلة عشرية من أجل اختبارات مرجعية مستقرّة وتطابق عبر المحرّكات. لا استعلام شبكة، ولا أخذ عيّنات عشوائي، ولا اعتماد على ساعة الحائط: المدخلات المتطابقة تنتج دائماً المخرج نفسه، ما يجعل القدرة آمنة لاختبارات الوحدات، والجداول الدفعية، وأوراق العمل دون اتصال.

تُرفض المدخلات غير الأولية فيما بينها بدلاً من إعادة مساحة مركّب بصمت، لأن المركّبات (مثل مثلثين لـ {6/2}) قصد منتج مختلف. أما نيّات البحث ذات الصلة مثل مساحات النجوم غير المنتظمة، أو مركّبات المخطّطات النجمية، أو محيط النجمة وحده فهي صفحات مستقلّة؛ وهذه الصفحة مكرَّسة لمساحة المضلع النجمي المنتظم من الرؤوس والكثافة ونصف القطر المحيط مع فحص أوّلي صريح.

حالات الاستخدام

هندسة النجوم في الواجبات والكتب المدرسية

يدخل الطلاب {5/2} أو {7/2} أو {7/3} بنصف قطر محيط معطى ويؤكّدون المساحة المملوءة مقابل صيغ متساوية الأضلاع مشتقّة يدوياً.

تصميم وتصنيع الشارات النجمية

تحوّل أدوات المنتج نصف قطر خارجي محدّداً وعدد رؤوس إلى مساحة طلاء أو مادة قبل القطع بالليزر أو طباعة زخرفة نجمية منتظمة.

الأسئلة الشائعة

ماذا تعني الكثافة لمضلع نجمي؟

الكثافة d في رمز شليفلي {n/d} تعني أن كل ضلع يقفز إلى الرأس البعيد d خطوات على المضلع ذي n أضلاع. لنجمة بسيطة، d ≥ 2 وgcd(n, d) يجب أن يساوي 1.

لماذا تفشل الكثافة والرؤوس غير الأولية فيما بينها؟

إن كان gcd(n, d) > 1 فالبنية مركّب من عدة مضلعات لا مكوّن نجمي واحد.

هل حاسبة مساحة المضلع النجمي في المتصفح مجانية؟

نعم. تستعمل أداة المتصفح المكتبة نفسها التي تستعملها الواجهة ولا تكلّف شيئاً.

هل تحسب النتيجة المناطق المتراكبة مرة أم بكثافة اللفّ؟

المساحة هي الظلّ المملوء للخطّ المنتظم متساوي الأضلاع (اتحاد، كل منطقة مرة). وهي ليست المساحة الجبرية الموزونة بالكثافة لمسار الرؤوس المتقاطع ذاتياً.

ما مساحة نجمة خماسية نصف قطرها 1؟

تغطي النجمة {5/2} مساحة 1.122569941449، وتقع تجويفاتها على بعد 0.38196601125 من المركز، بينما يغطي الخماسي المحدب على الدائرة نفسها 2.377641290738، فترى كم تترك الرؤوس من المساحة.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/geom/star-polygon-area

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/star-polygon-area \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"points":5,"density":2,"radius":1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/star-polygon-area", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "points": 5,
    "density": 2,
    "radius": 1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/geom/star-polygon-area",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "points": 5,
    "density": 2,
    "radius": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/star-polygon-area", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"points":5,"density":2,"radius":1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"points":5,"density":2,"radius":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/star-polygon-area", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "points": 5,
  "density": 2,
  "radius": 1
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "geom.star_polygon_area",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

حين تشترك الكثافة وعدد الرؤوس في عامل مشترك أكبر من واحد، يكون الشكل مركّباً لا مكوّناً نجمياً واحداً؛ وتُرفض تلك المدخلات بخطأ invalid_input كي لا تخلط مركّباً بنجمة بسيطة.

كيف تنادي الحاسبة وتقرأ نتيجة JSON

أرسل ثلاثة حقول: points (بدائل n وpoint_count وvertices)، وdensity (بدائل d وdens)، وradius (بدائل r وR). يجب أن يكون points عدداً صحيحاً لا يقلّ عن 5؛ ويجب أن يكون density عدداً صحيحاً في 1..floor((points−1)/2) بعد الاختزال المعياري؛ ويجب أن يكون radius رقماً موجباً منتهياً. تُقبل سلاسل الأرقام التي تُحلَّل بنظافة؛ وتفشل الحقول الناقصة، والقيم غير الصحيحة لـ points أو density، ونصف القطر غير الموجب، والأزواج غير الأولية فيما بينها بخطأ invalid_input يسمّي المشكلة—بما في ذلك رسالة gcd صريحة حين لا تكون الكثافة والرؤوس أوّلية فيما بينها. عند النجاح يعيد JSON القيم المعيارية points وdensity وradius، ويبلّغ schlafli سلسلةً مثل {5/2}، ويعيد inner_radius (البُعد من المركز إلى كل وادٍ داخل في الخطّ متساوي الأضلاع)، ويعيد area (منطقة النجمة المملوءة التي تريدها عادةً للطلاء أو المادة أو فحوص الإصابة)، ويعيد convex_area (المضلع المنتظم ذو n أضلاع على نصف القطر المحيط نفسه)، ويضبط is_star على true حين تكون الكثافة اثنين على الأقل. سعر النداء الناجح عبر الواجهة ثابت $0.002 ضمن وحدة العنصر؛ ولا يُحاسَب على إخفاقات التحقّق. يشمل العملاء النموذجيون طلاباً يفحصون واجبات النجمة الخماسية والسباعية، ومصمّمين يقيسون شارات نجمية لنصف قطر خارجي معلوم، وأدوات ألعاب تولّد مناطق تصادم لالتقاطات نجمية الشكل، وتجهيزات تكامل مستمر تجمّد JSON المساحة المتوقّعة كي لا تغيّر إعادةُ هيكلة رياضية مستقبلية النتائجَ بصمت.

صيغة المساحة والدقة والمركّبات والحدود

ويعطي جمع القطاعات المثلثية من المركز الصيغة المغلقة A = n · R · r · sin(π / n)، التي تؤول إلى الصيغة المألوفة (n/2) R² sin(2π/n) حين d = 1. هذه مساحة الاتحاد الهندسي لظلّ النجمة (كل منطقة محسوبة مرة)، لا المساحة الجبرية الموزونة بالكثافة التي تحصل عليها من مسير رباط حذاء ساذج على مسار الرؤوس المتقاطع ذاتياً.

حالات التكامل

فنون الألعاب وتجهيزات التصادم

تجمّد خطوط المعالجة مساحات JSON المرجعية لصور نجمية الشكل كي تبقى صناديق الإصابة الفيزيائية والمولّدات الإجرائية متّسقة عبر الإصدارات.

أسئلة تقنية

كيف أحسب مساحة مضلع نجمي منتظم؟

أرسل بأسلوب POST points وdensity وradius (نصف القطر المحيط إلى كل رأس) إلى نقطة نهاية مساحة المضلع النجمي، أو استعمل نموذج المتصفح المجاني. يتضمّن الردّ area وinner_radius ورمز شليفلي {n/d}.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ما المضلع النجمي المنتظم وكيف تعمل الكثافة

صيغة المساحة والدقة والمركّبات والحدود

حالات الاستخدام

هندسة النجوم في الواجبات والكتب المدرسية

تصميم وتصنيع الشارات النجمية

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

كيف تنادي الحاسبة وتقرأ نتيجة JSON

صيغة المساحة والدقة والمركّبات والحدود

حالات التكامل

فنون الألعاب وتجهيزات التصادم

أسئلة تقنية

شكرًا