Aire d'un polygone étoilé régulier {n/d}

Les polygones étoilés réguliers tels que le pentagramme classique {5/2}, les heptagrammes {7/2} et {7/3}, ou des formes plus denses comme {9/4}, apparaissent dans les systèmes de design, les devoirs de géométrie, les motifs de CAO, l'art de jeu vidéo et les patrons de fabrication. Cette capacité prend trois nombres — le nombre de pointes extérieures de l'étoile, la densité de Schläfli qui indique quels sommets relier, et le rayon circonscrit du centre à la pointe — et renvoie l'aire planaire remplie de cette étoile régulière, accompagnée du rayon des creux internes, du symbole de Schläfli et de l'aire du n-gone régulier convexe sur le même cercle, à titre de comparaison.

Ce qu'est un polygone étoilé régulier et comment fonctionne la densité

Un polygone étoilé régulier s'écrit en notation de Schläfli {n/d}, où n est le nombre de sommets équidistants sur un cercle et d la densité : à partir de n'importe quel sommet, vous tracez une corde droite vers le sommet situé d pas plus loin, puis vous continuez jusqu'à ce que le chemin se referme. Lorsque d vaut 1, le chemin est l'ordinaire n-gone régulier convexe.

Lorsque d vaut au moins 2 et que gcd(n, d) vaut 1, le chemin forme une unique étoile non convexe dont les arêtes se croisent, créant des pointes extérieures et des creux rentrants. L'étoile classique à cinq branches est {5/2} ; sept points admettent deux étoiles non équivalentes, {7/2} et {7/3}, aux pointes d'acuité différente et d'aires différentes pour le même rayon circonscrit.

Si gcd(n, d) est supérieur à un — par exemple {6/2} ou {10/4} — la construction se décompose en plusieurs polygones superposés (un composé) plutôt qu'en une seule étoile connexe. Ce calculateur exige n et d premiers entre eux pour que le résultat désigne toujours une unique étoile régulière (ou le cas convexe {n/1}). La densité est aussi normalisée dans l'intervalle 1 à floor((n−1)/2), car {n/d} et {n/(n−d)} décrivent la même figure parcourue en sens de pas opposés.

Comprendre la densité d'emblée évite l'erreur courante qui consiste à traiter toute « étoile à n branches » comme la même forme : deux étoiles au même nombre de pointes mais de densités différentes peuvent avoir des aires remplies très différentes sur le même cercle.

La formule d'aire, la précision, les composés et les limites

Le contour rempli d'une étoile régulière {n/d} est un 2n-gone isotoxal régulier qui alterne des pointes extérieures au rayon circonscrit R avec des creux à un rayon interne r = R · cos(π d / n) / cos(π (d − 1) / n). Il s'agit de l'aire de l'union géométrique de la silhouette de l'étoile (chaque région comptée une seule fois), et non de l'aire algébrique pondérée par la densité que donnerait un parcours naïf en lacet (shoelace) le long du chemin de sommets auto-intersectant.

Les résultats sont arrondis à douze décimales pour des tests de référence stables et une parité inter-moteurs. Il n'y a aucune consultation réseau, aucun échantillonnage aléatoire et aucune dépendance à l'horloge : des entrées identiques produisent toujours la même sortie, ce qui rend la capacité sûre pour les tests unitaires, les feuilles de calcul par lots et les fiches de travail hors ligne.

Les entrées qui ne sont pas premières entre elles sont rejetées plutôt que de renvoyer silencieusement une aire de composé, car les composés (par exemple deux triangles pour {6/2}) relèvent d'une intention de produit différente. Les intentions de recherche voisines telles que les aires d'étoiles irrégulières, les composés de polygrammes ou le périmètre d'étoile seul font l'objet de pages distinctes ; cette page est dédiée à l'aire d'un polygone étoilé régulier à partir des points, de la densité et du rayon circonscrit, avec une vérification explicite de primalité entre eux.