Sternpolygon-Flächenrechner

Reguläre Sternpolygone wie das klassische Pentagramm {5/2}, die Heptagramme {7/2} und {7/3} sowie dichtere Formen wie {9/4} treten in Designsystemen, Geometrie-Hausaufgaben, CAD-Motiven, Spielgrafik und Fertigungsmustern auf. Diese Fähigkeit nimmt drei Zahlen entgegen — wie viele äußere Spitzen der Stern hat, die Schläfli-Dichte, die angibt, welche Ecken zu verbinden sind, und den Umkreisradius vom Mittelpunkt zur Spitze — und liefert die gefüllte ebene Fläche dieses regulären Sterns zusammen mit dem inneren Talradius, dem Schläfli-Symbol und der Fläche des konvexen regulären n-Ecks auf demselben Kreis zum Vergleich zurück.

Was ein reguläres Sternpolygon ist und wie die Dichte wirkt

Ein reguläres Sternpolygon wird in Schläfli-Notation als {n/d} geschrieben, wobei n die Anzahl gleichmäßig verteilter Ecken auf einem Kreis und d die Dichte ist: Von einer beliebigen Ecke ausgehend, ziehen Sie eine gerade Sehne zur Ecke, die d Schritte entfernt liegt, und fahren fort, bis sich der Weg schließt. Ist d gleich 1, ist der Weg das gewöhnliche konvexe reguläre n-Eck. Ist d mindestens 2 und gcd(n, d) gleich 1, bildet der Weg einen einzelnen nichtkonvexen Stern, dessen Kanten sich kreuzen und äußere Spitzen sowie einspringende Täler erzeugen.

Der klassische fünfzackige Stern ist {5/2}; sieben Punkte lassen zwei nicht gleichwertige Sterne zu, {7/2} und {7/3}, mit unterschiedlicher Spitzenschärfe und unterschiedlichen Flächen bei gleichem Umkreisradius. Ist gcd(n, d) größer als eins — etwa {6/2} oder {10/4} —, zerfällt die Konstruktion in mehrere übereinandergelegte Polygone (ein Compound) statt in eine zusammenhängende Sternkomponente. Dieser Rechner verlangt teilerfremde n und d, sodass sich das Ergebnis stets auf einen einzelnen regulären Stern (oder den konvexen Fall {n/1}) bezieht.

Die Dichte wird zudem in den Bereich 1 bis floor((n−1)/2) normalisiert, weil {n/d} und {n/(n−d)} dieselbe Figur beschreiben, nur in entgegengesetzter Schrittrichtung durchlaufen. Die Dichte vorab zu verstehen verhindert den häufigen Fehler, jeden „n-zackigen Stern“ als dieselbe Form zu behandeln: Zwei Sterne mit gleicher Spitzenzahl, aber verschiedenen Dichten können auf demselben Kreis sehr verschiedene gefüllte Flächen haben.

Die Flächenformel, Präzision, Compounds und Grenzen

Die gefüllte Berandung eines regulären Sterns {n/d} ist ein reguläres isotoxales 2n-Eck, das äußere Spitzen am Umkreisradius R mit Tälern an einem inneren Radius r = R · cos(π d / n) / cos(π (d − 1) / n) abwechselt. Es gibt keine Netzwerkabfrage, keine Zufallsstichproben und keine Abhängigkeit von der Uhrzeit: Identische Eingaben erzeugen stets identische Ausgaben, was die Fähigkeit sicher macht für Unit-Tests, Batch-Tabellen und Offline-Arbeitsblätter. Nicht teilerfremde Eingaben werden abgewiesen, statt still eine Compound-Fläche zurückzugeben, weil Compounds (etwa zwei Dreiecke für {6/2}) eine andere Produktabsicht sind.

Verwandte Suchabsichten wie unregelmäßige Sternflächen, Polygramm-Compounds oder Sternumfang allein sind eigene Landingpages; diese Seite widmet sich der Fläche regulärer Sternpolygone aus Punkten, Dichte und Umkreisradius mit expliziter Teilerfremdheitsprüfung.