Área de polígono estrelado

Polígonos estrelados regulares, como o clássico pentagrama {5/2}, os heptagramas {7/2} e {7/3}, e formas mais densas como o {9/4}, aparecem em sistemas de design, lições de geometria, motivos de CAD, arte de jogos e padrões de manufatura. Esta capacidade recebe três números — quantas pontas externas a estrela tem, a densidade de Schläfli que diz quais vértices conectar, e o circunraio do centro até a ponta — e retorna a área plana preenchida dessa estrela regular junto com o raio do vale interno, o símbolo de Schläfli e a área do n-ágono regular convexo no mesmo círculo, para comparação.

O que é um polígono estrelado regular e como a densidade funciona

Um polígono estrelado regular é escrito na notação de Schläfli como {n/d}, onde n é o número de vértices igualmente espaçados em um círculo e d é a densidade: partindo de qualquer vértice, você traça uma corda reta até o vértice d passos adiante e continua até o caminho se fechar. Quando d é igual a 1, o caminho é o comum n-ágono regular convexo.

Quando d é pelo menos 2 e gcd(n, d) é igual a 1, o caminho forma uma única estrela não convexa cujas arestas se cruzam, criando pontas externas e vales reentrantes. A clássica estrela de cinco pontas é {5/2}; sete pontos admitem duas estrelas não equivalentes, {7/2} e {7/3}, com nitidez de ponta diferente e áreas diferentes para o mesmo circunraio.

Se gcd(n, d) for maior que um — por exemplo {6/2} ou {10/4} —, a construção se decompõe em vários polígonos sobrepostos (um composto) em vez de um único componente de estrela conectado. Esta calculadora exige n e d coprimos, para que o resultado sempre se refira a uma única estrela regular (ou ao caso convexo {n/1}). A densidade também é normalizada para a faixa de 1 até floor((n−1)/2), porque {n/d} e {n/(n−d)} descrevem a mesma figura percorrida em direções de passo opostas.

Entender a densidade de antemão evita o erro comum de tratar toda “estrela de n pontas” como a mesma forma: duas estrelas com a mesma contagem de pontas, mas densidades diferentes, podem ter áreas preenchidas bem distintas no mesmo círculo.

A fórmula da área, precisão, compostos e limites

O contorno preenchido de uma estrela regular {n/d} é um 2n-ágono isotoxal regular que alterna pontas externas no circunraio R com vales em um raio interno r = R · cos(π d / n) / cos(π (d − 1) / n). Esta é a área da união geométrica da silhueta da estrela (cada região contada uma vez), não a área algébrica ponderada por densidade que você obteria de uma caminhada ingênua do tipo shoelace ao longo do caminho de vértices que se autointersecta.

Os resultados são arredondados para doze casas decimais, para testes de referência estáveis e paridade entre motores. Não há consulta de rede, nem amostragem aleatória, nem dependência de relógio de parede: entradas idênticas sempre produzem saída idêntica, o que torna a capacidade segura para testes unitários, planilhas em lote e planilhas de trabalho offline. Entradas que não são coprimas são rejeitadas em vez de retornar silenciosamente uma área de composto, porque os compostos (por exemplo, dois triângulos para {6/2}) são uma intenção de produto diferente.

Intenções de busca relacionadas, como áreas de estrelas irregulares, compostos de poligrama ou apenas o perímetro da estrela, são landings separadas; esta página é dedicada à área de polígono estrelado regular a partir de pontos, densidade e circunraio, com uma verificação explícita de coprimalidade.