Calcolatore area poligono stellato

I poligoni stellati regolari come il classico pentagramma {5/2}, gli ettagrammi {7/2} e {7/3} e forme più dense come {9/4} compaiono nei sistemi di design, nei compiti di geometria, nei motivi CAD, nell'arte dei videogiochi e negli schemi di produzione. Questa capacità riceve tre numeri—quante punte esterne ha la stella, la densità di Schläfli che dice quali vertici collegare e il circumraggio dal centro alla punta—e restituisce l'area piana riempita di quella stella regolare, insieme al raggio delle valli interne, al simbolo di Schläfli e all'area del poligono regolare convesso a n lati sullo stesso cerchio per confronto.

Cos'è un poligono stellato regolare e come funziona la densità

Un poligono stellato regolare si scrive in notazione di Schläfli come {n/d}, dove n è il numero di vertici equidistanti su un cerchio e d è la densità: partendo da un vertice qualsiasi, traccia una corda dritta fino al vertice a d passi di distanza, poi continua finché il percorso non si chiude. Quando d è uguale a 1 il percorso è l'ordinario poligono regolare convesso a n lati.

Quando d è almeno 2 e gcd(n, d) è uguale a 1, il percorso forma una singola stella non convessa i cui lati si incrociano, creando punte esterne e valli rientranti. La classica stella a cinque punte è {5/2}; sette punte ammettono due stelle non equivalenti, {7/2} e {7/3}, con diversa acutezza delle punte e diverse aree per lo stesso circumraggio. Se gcd(n, d) è maggiore di uno—per esempio {6/2} o {10/4}—la costruzione si scompone in più poligoni sovrapposti (un composto) anziché in una sola componente stellare connessa.

Questo calcolatore richiede n e d coprimi così che il risultato si riferisca sempre a una singola stella regolare (o al caso convesso {n/1}). Anche la densità viene normalizzata nell'intervallo da 1 a floor((n−1)/2), perché {n/d} e {n/(n−d)} descrivono la stessa figura percorsa in direzioni di passo opposte. Comprendere la densità fin dall'inizio previene l'errore comune di trattare ogni «stella a n punte» come la stessa forma: due stelle con lo stesso numero di punte ma densità diverse possono avere aree riempite molto diverse sullo stesso cerchio.

La formula dell'area, precisione, composti e limiti

Il contorno riempito di una stella regolare {n/d} è un poligono isotossale regolare a 2n lati che alterna punte esterne al circumraggio R con valli a un raggio interno r = R · cos(π d / n) / cos(π (d − 1) / n). Questa è l'area di unione geometrica della sagoma stellata (ogni regione contata una volta), non l'area algebrica pesata per densità che otterrebbe da una ingenua camminata shoelace lungo il percorso auto-intersecante dei vertici.

Non c'è consultazione di rete, né campionamento casuale, né dipendenza dall'orologio: input identici producono sempre output identico, il che rende la capacità sicura per test unitari, fogli di calcolo in batch e schede di lavoro offline. Gli input non coprimi vengono respinti anziché restituire in silenzio un'area composta, perché i composti (per esempio due triangoli per {6/2}) sono un diverso intento di prodotto.

Intenti di ricerca correlati come aree di stelle irregolari, composti poligrammatici o solo il perimetro della stella sono landing separate; questa pagina è dedicata all'area del poligono stellato regolare da punti, densità e circumraggio con un controllo esplicito di coprimalità.