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星型多角形の面積計算機

先端の数、密度、先端までの半径から正星型多角形の塗りつぶし面積を求めます。半径1の円にかいた五芒星{5/2}の面積は1.122569941449です。バッジやレーザー加工、宿題に使えます。ブラウザで無料で使えます。

  • 無料
  • ブラウザで動作
  • 登録不要
  • データは端末の外に出ません
ご利用方法 ウェブAPIメールTelegramアプリ 近日
入力した場合
外側頂点数
5
密度
2
半径
1
結果
シュレーフリ記号
{5/2}
内側半径
0.3819660113
面積
1.1225699414
凸包面積
2.3776412907

定番の五芒星 {5/2}、七芒星 {7/2} と {7/3}、そして {9/4} のようなより密な形といった正星型多角形は、デザインシステム、幾何の宿題、CAD の意匠、ゲームアート、製造のパターンに現れます。この機能は 3 つの数値、すなわち星の外側の尖端がいくつあるか、どの頂点を結ぶかを示すシュレーフリ密度、そして中心から尖端までの外接円半径を受け取り、その正星型の塗りつぶし平面面積を、内側の谷半径、シュレーフリ記号、そして比較用に同じ円上の凸正 n 角形の面積とともに返します。

正星型多角形とは何か、そして密度のしくみ

正星型多角形はシュレーフリ記法で {n/d} と書かれ、n は円上に等間隔に並ぶ頂点の数、d は密度です。任意の頂点から始めて d 歩先の頂点まで直線の弦を引き、経路が閉じるまで続けます。d が 1 に等しいとき、その経路は通常の凸正 n 角形です。

d が 2 以上で gcd(n, d) が 1 に等しいとき、経路は辺が交差する単一の非凸の星を成し、外側の尖端と入り込んだ谷を作ります。定番の 5 尖端の星は {5/2} です。7 尖端は同値でない 2 つの星 {7/2} と {7/3} を許し、同じ外接円半径でも尖端の鋭さと面積が異なります。

gcd(n, d) が 1 より大きい場合、たとえば {6/2} や {10/4} では、構成は 1 つの連結した星の成分ではなく、いくつかの重ね合わさった多角形(複合図形)に分解されます。この計算機は結果が常に単一の正星型(または凸の {n/1} の場合)を指すよう、互いに素な n と d を要求します。

密度はまた {n/d} と {n/(n−d)} が同じ図形を逆向きの歩みで巡ることを表すため、1 から floor((n−1)/2) の範囲に正規化されます。密度をあらかじめ理解しておくと、あらゆる「n 尖端の星」を同じ形と見なす、よくある誤りを防げます。

尖端の数が同じでも密度の異なる 2 つの星は、同じ円上でまったく異なる塗りつぶし面積を持ち得るのです。

面積の公式、精度、複合図形、そして制限

正星型 {n/d} の塗りつぶし境界は、外接円半径 R の外側の尖端と、内側半径 r = R · cos(π d / n) / cos(π (d − 1) / n) の谷とが交互に並ぶ、正等辺 2n 角形です。ネットワーク参照も、乱数抽出も、実時計への依存もありません。

同一の入力は常に同一の出力を生むため、この機能は単体テスト、バッチの表計算、オフラインのワークシートに安全に使えます。互いに素でない入力は、複合図形の面積を黙って返すのではなく拒否されます。複合図形(たとえば {6/2} の 2 つの三角形)は別の製品意図だからです。

不規則な星の面積、多角星の複合、あるいは星の周長のみといった関連する検索意図は別のランディングです。このページは、明示的な互いに素の確認を伴う、頂点数・密度・外接円半径からの正星型多角形の面積に専念しています。

宿題と教科書の星の幾何

学生が {5/2}、{7/2}、{7/3} を与えられた外接円半径で入力し、塗りつぶし面積を手で導いた等辺の公式と照合します。

星のバッジの設計と製造

製品ツールが、指定した外側半径と尖端数を、正星型の意匠をレーザー切断や印刷する前に塗料や材料の面積へと変換します。

星型多角形にとって密度とは何を意味しますか?

シュレーフリ記法 {n/d} の密度 d は、各辺が n 角形上で d 歩先の頂点へ飛ぶことを意味します。単純な星では d ≥ 2 かつ gcd(n, d) が 1 でなければなりません。

互いに素でない密度と頂点数はなぜ失敗するのですか?

gcd(n, d) > 1 のとき、構成は単一の星の成分ではなく複数の多角形の複合図形です。

結果は重なる領域を一度数えますか、それとも回転密度で数えますか?

面積は正等辺輪郭の塗りつぶしシルエット(和集合、各領域を一度)です。自己交差する頂点経路の密度で重み付けした代数的面積ではありません。

半径1の五芒星の面積はいくつですか?

{5/2}の面積は1.122569941449で、くぼみは中心から0.38196601125の位置にあります。同じ円上の凸五角形は2.377641290738なので、先端の間で欠ける量が分かります。

{7/2}と{7/3}で面積が違うのはなぜですか?

どちらも先端は7つですが、密度によってどの頂点を結ぶかが変わり、片方のほうが先端が鋭くなります。そのため同じ円でも塗りつぶし面積が異なります。

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

POSThttps://api.kit.forhosting.com/geom/star-polygon-area

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/star-polygon-area \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"points":5,"density":2,"radius":1}'
{
  "points": 5,
  "density": 2,
  "radius": 1
}
{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "geom.star_polygon_area",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

HTTPコード意味
401unauthorizedAPIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
402insufficient_balance残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
404unknown_type指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
429rate_limitedリクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

密度と頂点数が 1 より大きい公約数を共有する場合、その図形は単一の星の成分ではなく複合図形になるため、そうした入力は invalid_input で拒否され、複合図形を単純な星と取り違えることがありません。アルゴリズムは純粋な三角法で、決定論的、オフラインで、無料のブラウザーランナーと有料の API 経路で同一です。

計算機の呼び出し方と JSON 結果の読み方

きれいに解析できる数字列は受け付けます。密度と頂点数が互いに素でないときは明示的な gcd のメッセージも含まれます。3 つのフィールドを送信します。points(別名 n、point_count、vertices)、density(別名 d、dens)、radius(別名 r、R)です。points は 5 以上の整数、density は正準化の後 1..floor((points−1)/2) の整数、radius は正の有限な数でなければなりません。欠落したフィールド、points や density が整数でない場合、非正の radius、そして互いに素でない対は invalid_input で失敗し、問題を名指しします。成功時、JSON は正準化された points、density、radius を反映し、schlafli を {5/2} のような文字列として報告し、inner_radius(等辺輪郭の各入り込んだ谷までの中心からの距離)を返し、area(塗料、材料、あるいは当たり判定に通常必要な塗りつぶしの星の領域)を返し、convex_area(同じ外接円半径上の正 n 角形)を返し、密度が 2 以上のとき is_star を true に設定します。無料のブラウザーランナーはワーカーと同じ同型ライブラリを取り込むため、ローカルのプレビューは丸めたフィールドで成功時の API 応答と一致します。成功した API 呼び出しの価格は item 単位のもとで一律 $0.002 で、検証の失敗には決して課金されません。典型的な利用者には、五芒星や七芒星の宿題を確認する学生、既知の外側半径で星のバッジを寸法決めするデザイナー、星型の取得物の衝突面積を生成するゲームツール、そして将来の数学的なリファクタリングが結果を黙って変えないよう期待される面積 JSON を凍結する CI フィクスチャなどがあります。

面積の公式、精度、複合図形、そして制限

中心からの三角形の扇形を合計すると閉じた形 A = n · R · r · sin(π / n) が得られ、d = 1 のときはおなじみの (n/2) R² sin(2π/n) に帰着します。これは星のシルエットの幾何学的な和集合の面積(各領域を一度だけ数える)であって、自己交差する頂点経路に沿った素朴な靴ひも公式の歩みで得られる、密度で重み付けした代数的面積ではありません。

ゲームアートと衝突フィクスチャ

パイプラインが星型スプライトの JSON ゴールデン面積を凍結し、物理の当たり判定と手続き的生成器がビルド間で一貫し続けるようにします。

正星型多角形の面積はどう計算しますか。

points、density、radius(各尖端までの外接円半径)を star-polygon-area エンドポイントに POST するか、無料のブラウザーフォームをお使いください。応答には area、inner_radius、シュレーフリ記号 {n/d} が含まれます。

ブラウザーの星型多角形の面積計算機は無料ですか。

はい。ブラウザー内のランナーは API と同じライブラリを使い、費用はかかりません。API は前払いの KIT 残高から、成功した 1 リクエストあたり $0.002 を課金します。

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