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尖った星の面積と周長

Q: これは Schläfli の星型多角形 {n/d} と同じですか？

いいえ。 この計算は両方の半径を入力として受け取り、先端と谷の単純な輪郭を辿ります。{n/d} の星は一つの円上で d 個おきの頂点を結び、独自の内半径を導きます。

とがりの数と2つの半径から、正則な星形の面積と周長が分かります。とがり5つ、半径2と1なら、面積は5.877852522925、輪郭の長さは13.281310261041です。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

点: 5
外半径: 2
内半径: 1

結果

面積: 5.8778525229
周長: 13.281310261
辺の長さ: 1.3281310261

正則な尖った星は、先端が一つの円上に乗り、谷がそれより小さい同心円上に乗る、徽章・旗・飾りでおなじみの輪郭です。デザイナー、教員、レーザー切断の担当者、ゲームの絵作りは、欲しい先端の本数とその輪郭の二つの半径をすでに知っていることが多く、Schläfli の密度から入りません。この星形の計算は、その三つの数 — 3 以上の整数の点数、正の外半径、それより厳密に小さい正の内半径 — を受け取り、先端から谷、また先端へと一周する等辺の 2n 角形の塗りつぶし面積と周長を返します。宿題の確認と本番の切断リストが食い違うことはありません。

正則な尖った星とは何か、{n/d} との違い

正則な尖った星は、等辺星や、内半径と外半径を独立に持つ星型多角形と呼ばれることもあり、二つの同心円のあいだを交互に巡る 2n 個の頂点からできます。外側の n 個の頂点は中心から距離 R にあり、見える先端になります。内側の n 個の頂点は中心から距離 r にあり、r は R より厳密に小さく、先端のあいだの谷になります。

連続する頂点は角度が等間隔です。先端から次の谷への歩みは π を n で割ったラジアンなので、一周すると 2n 個の頂点を訪れ、起点に戻ります。塗りつぶし領域は単純な 2n 辺の多角形であり、一つの円上で d 個おきの頂点を結んで得られる自己交差する Schläfli 星 {n/d} ではありません。

この区別は検索意図に効きます。星形の計算、尖った星の面積、外半径と内半径からの星の周長と入力する人は、図面、型、CAD の下書きからすでに両方の半径を持っています。欲しいのはその輪郭の塗装面積と切断長です。

密度 d は持っておらず、測った半径を使わずに三角法で内半径を導く {n/d} の面積では誤誘導されます。三点、四点、五点、六点の星は、n が 3 以上の整数である限り、ここではすべて有効です。二点の図形はこの模型では星ではなく、拒否されます。

r が R に近づくと先端は正 2n 角形へ平らになり、r が R よりずっと小さいと先端は長く鋭くなります。この計算は、その一族の正確な閉じた面積と周長を報告します。徽章、飾り、衝突の外殻、宿題の図を、頂点を手で辿らずに寸法決めできます。

星形の計算が役立つ場面

星形の徽章、勲章、シール、飾りは、ほとんどすべてのデザインファイルで先端の本数と二つの半径で指定されます。それでも面積と周長は、頂点を辿るか、ビットマップを目分量で測って導かれています。決定的な星形の計算は、その三つの数を、塗装見積りのための塗り面積と、レーザー・ビニール・CNC 経路のための切断長へ変えます。

与えられた外半径と内半径から正則な五点星の面積を問う教員や試験作成者は、与えられた内半径を無視する五芒星の恒等式ではなく、扇形の公式を使う判定を必要とします。紙や布に星を敷き詰める工芸や包装の流れは、周長をリボンや縫いの長さへ、面積を材料の歩留まりへ換えます。

星形の花壇や舞台を置く造園やイベントの計画者は、測った外半径と選んだ内半径を、フルの CAD 一式を開かずに芝の面積と縁の長さへ換えます。どの場面でも価値は、安定した契約、名前の付いた誤り、点数と二つの半径から星形の面積と周長を人が実際に探す意図です。

要求を小さく保ち、丸めた面積と周長を試験に固定すれば、宿題、LMS の拡張、縁の worker 向けに再現できる星の計量を、幾何の核を自ら立てずに得られます。

活用例

教室と宿題の確認

生徒が点数と外半径・内半径を入れ、手描きの等辺星に対して閉じた面積と周長を確かめます。

レーザー、ビニール、CNC の切断リスト

固まった徽章や飾りの設計を、正則な尖った星を切る・塗る前に、塗装面積と輪郭長へ換えてください。

よくある質問

点数が 3 未満だとどうなりますか？

尖った星には少なくとも 3 本の先端が必要なので、2 本、1 本、0 は拒否され、課金されません。

これは Schläfli の星型多角形 {n/d} と同じですか？

いいえ。この計算は両方の半径を入力として受け取り、先端と谷の単純な輪郭を辿ります。{n/d} の星は一つの円上で d 個おきの頂点を結び、独自の内半径を導きます。

星形の計算はどの単位を使いますか？

一貫した任意の長さの単位です。半径がミリメートルなら面積は平方ミリメートル、周長はミリメートルです。

五芒星の面積はどう求めますか？

とがりの数に外半径と内半径を掛け、さらにπをとがりの数で割った角の正弦を掛けます。とがり5つ、半径2と1なら5.877852522925で、中心から広がる三角形の合計です。

星形の周長はどう計算しますか？

各辺はとがりからくぼみへ結ぶので、2つの半径とπをとがりの数で割った角から、余弦定理で長さを求めます。辺の数はとがりの2倍で、5つの例では13.281310261041です。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/star-shape

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/star-shape \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"points":5,"outer_radius":2,"inner_radius":1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/star-shape", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "points": 5,
    "outer_radius": 2,
    "inner_radius": 1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/star-shape",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "points": 5,
    "outer_radius": 2,
    "inner_radius": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/star-shape", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"points":5,"outer_radius":2,"inner_radius":1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"points":5,"outer_radius":2,"inner_radius":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/star-shape", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "points": 5,
  "outer_radius": 2,
  "inner_radius": 1
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.star_shape",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

点数が 3 未満の場合、欄が欠けている場合、半径が正でない場合、内半径が外半径の内側に厳密に収まらない場合は invalid_input で失敗し、課金されません。

入力の契約、閉じた公式、エラーの挙動

points が厳密に 3 未満なら、尖った星には少なくとも 3 本の先端が必要だという明確なメッセージでハンドラーが拒否します。どちらかの半径が正でない場合、または内半径が外半径以上の場合、それらの入力は正則な尖った星を表さないため要求は拒否されます。それらの失敗は課金されません。面積は閉じた式 A が n かける R かける r かける π を n で割った sin に等しいものを使い、中心からの 2n 個の三角扇形の和です。輪郭の各辺は先端と谷を結ぶので、その長さは余弦定理により、R の二乗足す r の二乗から 2 R r かける π を n で割った cos を引いたものの平方根です。周長はその辺の 2n 倍です。単位は呼び出し側のものです。ミリメートルを送れば面積は平方ミリメートル、周長はミリメートルです。無効な入力は残高を消費しません。必須フィールドを 3 つ含む JSON ボディを POST してください。フィールド points は 3 以上 100 万以下の整数です。別名の n、point_count、tips は同じ意味です。フィールド outer_radius は、中心から各先端までの距離を与える正の有限数です。別名の R、r_outer、outer を受け付けます。フィールド inner_radius は、outer_radius より厳密に小さい正の有限数で、中心から各谷までの距離です。別名の r、r_inner、inner を受け付けます。各フィールドは JSON の数でも、数値の文字列でも届いて構いません。空文字、欠けた欄、Infinity、NaN は invalid_input で失敗し、問題を名指しします。成功時のボディは points、outer_radius、inner_radius をエコーし、続けて area、perimeter、edge_length、および formula の文字列を返します。実装はネットワークもモデルトークンもない純粋な parse の tier A なので、成功した呼び出しは公表された基本料金 $0.002 です。

星形の計算が役立つ場面

ゲームとアイコンのパイプラインは、拾得物、評価の字形、HUD の星のための参照 JSON を固定し、後の数学の改修が衝突面積や輪郭長を黙って変えられないようにします。成功した API 呼び出しは $0.002 です。この案内は Schläfli の星型多角形の面積、不規則な星、三次元の星型多面体は計算しません。それらは別の問いと別の機能です。

連携の活用例

ゲームのアイコンと衝突用フィクスチャ

拾得物、評価の字形、HUD の星の参照 JSON を固定し、衝突面積と輪郭長がビルド間で一致するようにします。

技術的な質問

正則な尖った星の面積と周長はどのように求めますか。

3 以上の整数 points と、正の outer_radius、それより厳密に小さい正の inner_radius を送ってください。API は area = n·R·r·sin(π/n) と perimeter = 2n·√(R²+r²−2Rr·cos(π/n)) を返します。

星形の計算の料金はいくらですか。

ブラウザの道具は無料です。API の要求は成功した呼び出しごとに前払いの KIT 残高 $0.002 を使います。無効な入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

尖った星の面積と周長

無料で実行

計算例

正則な尖った星とは何か、{n/d} との違い

星形の計算が役立つ場面

活用例

教室と宿題の確認

レーザー、ビニール、CNC の切断リスト

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

入力の契約、閉じた公式、エラーの挙動

星形の計算が役立つ場面

連携の活用例

ゲームのアイコンと衝突用フィクスチャ

技術的な質問

ありがとう