Étoile pointue

Une étoile pointue régulière est le contour familier d'un insigne, d'un drapeau ou d'un ornement dont les pointes reposent sur un cercle et dont les vallées reposent sur un cercle concentrique plus petit. Les concepteurs, les enseignants, les opérateurs de découpe laser et les artistes de jeu connaissent en général le nombre de pointes voulu et les deux rayons de ce contour ; ils ne partent pas d'une densité de Schläfli. Ce calculateur de forme d'étoile prend ces trois nombres — un entier de pointes au moins égal à trois, un rayon extérieur positif et un rayon intérieur positif strictement plus petit — et renvoie l'aire remplie ainsi que le périmètre du 2n-gone isotoxal qui parcourt pointe-vallée-pointe tout autour.

Ce qu'est une étoile pointue régulière et en quoi elle diffère de {n/d}

Une étoile pointue régulière, parfois appelée étoile isotoxale ou polygone étoilé à rayons intérieur et extérieur indépendants, se construit à partir de 2n sommets qui alternent entre deux cercles concentriques. Les n sommets extérieurs se situent à la distance R du centre et deviennent les pointes visibles. Les n sommets intérieurs se situent à la distance r du centre, avec r strictement inférieur à R, et deviennent les vallées entre les pointes.

Les sommets consécutifs sont également espacés en angle : le pas d'une pointe à la vallée suivante vaut π sur n radians, de sorte qu'un tour complet visite 2n sommets et revient au départ. La région remplie est un polygone simple à 2n côtés, et non l'étoile de Schläfli {n/d} auto-sécante que l'on obtient en reliant chaque d-ième sommet sur un seul cercle. Cette distinction compte pour l'intention de recherche.

Quiconque saisit calculateur d'étoile, aire d'étoile pointue ou périmètre d'étoile à partir des rayons extérieur et intérieur possède déjà les deux rayons d'un dessin, d'une matrice ou d'un croquis CAD. Il veut l'aire de peinture et la longueur de coupe de ce contour. Il n'a pas de densité d, et une aire {n/d} qui déduit un rayon intérieur par trigonométrie au lieu de prendre le rayon mesuré l'induirait en erreur.

Les étoiles à trois, quatre, cinq et six pointes sont toutes valides ici tant que n est un entier au moins égal à trois. Une figure à deux pointes n'est pas une étoile dans ce modèle et est rejetée. Lorsque r s'approche de R, les pointes s'aplatissent vers un 2n-gone régulier ; lorsque r est beaucoup plus petit que R, les pointes deviennent longues et aiguës.

Ce calculateur indique l'aire et le périmètre exacts sous forme fermée de cette famille afin que vous puissiez dimensionner insignes, ornements, enveloppes de collision et figures de devoir sans tracer les sommets à la main.

Contrat d'entrée, formules fermées et comportement d'erreur

Si points est strictement inférieur à trois, le gestionnaire refuse la requête avec un message clair : une étoile pointue a besoin d'au moins trois pointes. Si l'un des rayons n'est pas positif, ou si le rayon intérieur est supérieur ou égal au rayon extérieur, la requête est refusée car ces entrées ne décrivent pas une étoile pointue régulière. Ces échecs ne sont pas facturés.

L'aire utilise la forme fermée A égale à n fois R fois r fois sin de π sur n, somme des 2n secteurs triangulaires depuis le centre. Chaque arête du contour joint une pointe à une vallée, donc sa longueur est, par la loi des cosinus, la racine carrée de R au carré plus r au carré moins deux R r cos de π sur n. Le périmètre vaut 2n fois cette arête.

Les résultats sont arrondis à douze décimales pour des goldens stables. Les unités sont celles de l'appelant : si vous envoyez des millimètres, vous obtenez des millimètres carrés d'aire et des millimètres de périmètre.

Où un calculateur de forme d'étoile justifie sa place

Les insignes, médailles, autocollants et ornements en étoile sont spécifiés par le nombre de pointes et deux rayons dans presque tous les fichiers de conception, et pourtant l'aire et le périmètre se déduisent encore en traçant des sommets ou en mesurant un bitmap à l'œil. Un calculateur déterministe de forme d'étoile transforme ces trois nombres en une aire de peinture pour estimer un revêtement et en une longueur de coupe pour des trajectoires laser, vinyle ou CNC.

Les enseignants et les rédacteurs d'examens qui demandent l'aire d'une étoile régulière à cinq pointes avec rayons extérieur et intérieur donnés ont besoin d'un oracle qui utilise la formule des secteurs, et non une identité de pentagramme qui ignore le rayon intérieur fourni. Les flux d'artisanat et d'emballage qui pavent des étoiles sur papier ou tissu convertissent le périmètre en longueur de ruban ou de couture et l'aire en rendement de matière.

Les planificateurs de paysage et d'événements qui disposent parterres ou scènes en étoile convertissent un rayon extérieur mesuré et un rayon intérieur choisi en aire de gazon et longueur de bordure sans ouvrir une suite CAD complète. Cette page ne calcule pas l'aire d'un polygone étoilé de Schläfli, des étoiles irrégulières ni des polyèdres étoilés tridimensionnels ; ce sont d'autres requêtes et d'autres capacités.

Gardez les requêtes petites, figez l'aire et le périmètre arrondis dans les tests, et vous obtiendrez des métriques d'étoile reproductibles pour les devoirs, les greffons LMS et les workers de bord sans dresser un noyau géométrique à vous.