Área de polígono estrellado {n/d} regular por puntos, densidad, radio

Los polígonos estrellados regulares, como el clásico pentagrama {5/2}, los heptagramas {7/2} y {7/3}, y formas más densas como {9/4}, aparecen en sistemas de diseño, tareas de geometría, motivos de CAD, arte de videojuegos y patrones de fabricación. Esta capacidad toma tres números —cuántas puntas exteriores tiene la estrella, la densidad de Schläfli que indica qué vértices conectar y el circunradio del centro a la punta— y devuelve el área plana rellena de esa estrella regular junto con el radio del valle interior, el símbolo de Schläfli y el área del n-ágono regular convexo sobre la misma circunferencia para comparar.

Qué es un polígono estrellado regular y cómo funciona la densidad

Un polígono estrellado regular se escribe en notación de Schläfli como {n/d}, donde n es el número de vértices igualmente espaciados sobre una circunferencia y d es la densidad: partiendo de cualquier vértice, traza una cuerda recta hasta el vértice situado d pasos más allá y continúa hasta que el camino se cierra. Cuando d es igual a 1, el camino es el n-ágono regular convexo ordinario.

Cuando d es al menos 2 y gcd(n, d) es igual a 1, el camino forma una única estrella no convexa cuyas aristas se cruzan, creando picos exteriores y valles reentrantes. La clásica estrella de cinco puntas es {5/2}; siete puntas admiten dos estrellas no equivalentes, {7/2} y {7/3}, con distinta agudeza de pico y distinta área para el mismo circunradio.

Si gcd(n, d) es mayor que uno —por ejemplo {6/2} o {10/4}— la construcción se descompone en varios polígonos superpuestos (un compuesto) en lugar de un único componente estrellado conectado. Esta calculadora exige que n y d sean coprimos para que el resultado siempre se refiera a una única estrella regular (o al caso convexo {n/1}). La densidad también se normaliza al rango de 1 hasta floor((n−1)/2), porque {n/d} y {n/(n−d)} describen la misma figura recorrida en direcciones de paso opuestas.

Entender la densidad de antemano evita el error común de tratar cada «estrella de n puntas» como la misma forma: dos estrellas con el mismo número de puntas pero distinta densidad pueden tener áreas rellenas muy diferentes sobre la misma circunferencia.

La fórmula del área, la precisión, los compuestos y los límites

El borde relleno de una estrella regular {n/d} es un 2n-ágono isotoxal regular que alterna puntas exteriores en el circunradio R con valles en un radio interior r = R · cos(π d / n) / cos(π (d − 1) / n). Esta es el área de unión geométrica de la silueta estrellada (cada región contada una vez), no el área algebraica ponderada por densidad que obtendría de un recorrido ingenuo con la fórmula del cordón a lo largo del camino de vértices que se autointerseca.

Los resultados se redondean a doce decimales para pruebas de referencia estables y paridad entre motores. Las entradas que no son coprimas se rechazan en lugar de devolver en silencio el área de un compuesto, porque los compuestos (por ejemplo, dos triángulos para {6/2}) son una intención de producto distinta.

Las intenciones de búsqueda relacionadas, como áreas de estrellas irregulares, compuestos de polígrama o el perímetro de la estrella por sí solo, son landings aparte; esta página se dedica al área de un polígono estrellado regular a partir de puntos, densidad y circunradio con una comprobación explícita de coprimalidad.