حاسبة المتجه

يُوصَف المتجه ثنائي الأبعاد وصفًا تامًا إما بزوج من المركبات الديكارتية أو بطول واتجاه. تأخذ حاسبة المتجه هذه المركبة x والمركبة y، وتحسب المقدار الإقليدي جذرًا تربيعيًا لمجموع مربع x ومربع y، وتسترجع زاوية الاتجاه بقوس الظل ذي الوسيطين atan2 لـ y وx حتى يقع الاتجاه في الربع الصحيح. تُبلّغ الاستجابة كذلك عن المتجه الوحدوي المطابق، وسلسلة بالصورة القطبية، وقراءتي الدرجات ذات الإشارة ومن الصفر إلى ثلاثمئة وستين.

ما الذي ترجعه حاسبة متجه ثنائية الأبعاد: الطول والاتجاه والجهة الوحدوية

في المستوى يكون المتجه سهمًا من الأصل إلى النقطة التي إحداثياها المركبتان x و y. يثبّت هذان العددان السهم تثبيتًا تامًا، غير أن الطلاب والمهندسين وشيفرة الألعاب كثيرًا ما يريدون زوجًا آخر: كم يبلغ طول السهم، وإلى أين يشير. الطول هو المقدار الإقليدي، أي وتر المثلث القائم الذي ساقاه القيمتان المطلقتان لـ x و y، ويُكتب r مساويًا للجذر التربيعي لمربع x زائد مربع y.

الاتجاه هو زاوية الاتجاه المقاسة من محور x الموجب، عكس عقارب الساعة عندما تكون الزاوية موجبة. لا يكفي قوس الظل بوسيط واحد لـ y على x، لأنه يطوي الأرباع المتقابلة ويفشل عندما يكون x صفرًا. تفحص الدالة ذات الوسيطين atan2 لـ y وx الإشارتين معًا، فلا يُحسب متجه الربع الثاني متجهًا في الرابع، ويتلقى المتجه الرأسي الخالص موجب أو سالب تسعين درجة.

قسمة كل مركبة على المقدار تنتج المتجه الوحدوي، أي الاتجاه نفسه بطول واحد، وهو زوج جيوب التمام الاتجاهية المستعمل في الإضاءة والتوجيه وتحليل القوى. تجمع هذه الصفحة تلك الأفكار الثلاث في عقد واحد: المقدار، والزاويتان ذات الإشارة والمطويتان، والمركبتان الوحدويتان، وسلسلة قطبية على هيئة r زاوية ثيتا درجات، وتسمية الربع أو المحور. أما الأدوات المقصورة على المقدار التي تقبل مصفوفة نونية الأبعاد، وصفحات زاوية الاتجاه التي تتصدّر بـ atan2، فتجيب عن استعلامات بحث أخرى.

الاستعلام هنا هو حاسبة المتجه العامة: تدخل المركبات وتخرج الصورة القطبية.

ما الذي تُدخله وكيف يُحسب

الحساب مسار قصير حتمي تمامًا. المقدار هو الوتر الإقليدي لـ x و y. إن كان ذلك الطول في حكم الصفر فشلت الطلبية، لأن إزاحة طولها صفر لا تشير إلى جهة ولا يمكن تكوين متجه وحدوي.

وإلا فالزاوية بالراديان هي atan2 لـ y وx، وصورة الدرجات تضرب بمئة وثمانين على باي، وحقل درجات ثانٍ يطوي الناتج ذا الإشارة في الفترة نصف المفتوحة من الصفر إلى ثلاثمئة وستين. المركبتان الوحدويتان هما x على r و y على r. مثال: x يساوي ثلاثة و y يساوي أربعة مثلث كلاسيكي ثلاثة-أربعة-خمسة، فالمقدار خمسة، والاتجاه نحو ثلاث وخمسين نقطة ثلاثة عشر درجة، والمتجه الوحدوي صفر نقطة ستة وصفر نقطة ثمانية.

مثال: x يساوي سالب خمسة و y يساوي اثني عشر مثلث خمسة-اثني عشر-ثلاثة عشر في الربع الثاني. لا مركبة ثالثة، ولا زوج كروي من الزوايا، ولا تحويل آلي للمركبات نفسها من أقدام إلى أمتار؛ يختار المستدعي إطارًا ديكارتيًا مشتركًا.

أين تثبت حاسبة المتجه جدواها في الدراسة والتصميم والاختبارات

تلقى الصفوف هذا التحويل في الأسبوع الذي تُقدَّم فيه الصورة القطبية: يعطي الكتاب مركبات قوة أو إزاحة أو سرعة ويطلب المقدار والزاوية من محور x الموجب. ترجع مكالمة واحدة المقدارين مع المتجه الوحدوي، فيراجع المتعلم مفتاح إجابات كاملًا بالصورة القطبية من غير أن يقلب إشارة الربع بيده. يستطيع المعلمون ومؤلفو LMS توليد قوالب مسبقة ترفض المتجه الصفري وأي مركبة غير متناهية بدل قبول صمت بدرجة صفر.

يستعيد مطورو الألعاب وهواة الروبوتات اتجاه متجه سرعة أو تصويب على مستوٍ 2D؛ والتحويل عبر atan2 من غير منطق أرباع مصنوع يدويًا يتجنب الخطأ الكلاسيكي الذي يبلّغ أن شخصية تتجه يسارًا تتجه يمينًا. تفك دفاتر الفيزياء القوة إلى طول واتجاه قبل إسقاطها على محور. في هذه الصفحة يجري العمل كله داخل المتصفح.

اقرنوا هذه الصفحة بأداة مقدار نونية الأبعاد عندما لا يكون المتجه مستويًا، وبصفحة زاوية اتجاه عندما يكون المجهول الوحيد هو الاتجاه، وبمحول زوايا عندما يجب أن تظهر النتائج بالغراد أو بالدورات.