Calculadora de vetores

Um vetor bidimensional fica completamente descrito por um par de componentes cartesianas ou por um comprimento e um rumo. Esta calculadora de vetores recebe a componente x e a componente y, calcula o módulo euclidiano como a raiz quadrada de x ao quadrado mais y ao quadrado e recupera o ângulo de direção com o arco-tangente de dois argumentos atan2 de y e x, para que o rumo caia no quadrante correto. A resposta também informa o vetor unitário correspondente, uma cadeia em forma polar e as leituras em graus com sinal e de zero a trezentos e sessenta.

O que uma calculadora de vetores 2D devolve: comprimento, rumo e direção unitária

No plano, um vetor é uma seta da origem até o ponto cujas coordenadas são as componentes x e y. Esses dois números fixam a seta por completo, mas estudantes, engenheiros e o código de um jogo costumam querer outro par: quanto ela mede e para onde aponta. O comprimento é o módulo euclidiano, a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são os valores absolutos de x e y, escrito r igual à raiz quadrada de x ao quadrado mais y ao quadrado.

O rumo é o ângulo de direção medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário quando o ângulo é positivo. O arco-tangente de um só argumento de y sobre x não basta, porque colapsa quadrantes opostos e falha quando x é zero. A função de dois argumentos atan2 de y e x inspeciona os dois sinais, de modo que um vetor do segundo quadrante não se confunde com um do quarto, e um vetor puramente vertical recebe mais ou menos noventa graus.

Dividir cada componente pelo módulo produz o vetor unitário, a mesma direção com comprimento um, o par de cossenos diretores usado em iluminação, guiagem e resolução de forças. Esta página reúne essas três ideias num único contrato: módulo, ângulos com sinal e envelopados, componentes unitárias, uma cadeia polar da forma r ângulo teta graus, e um rótulo de quadrante ou de eixo. Ferramentas só de módulo que aceitam um arranjo n-dimensional, e páginas de ângulo de direção que começam pelo atan2, respondem a outras consultas.

A consulta daqui é a calculadora genérica de vetores: entram as componentes e sai a forma polar.

O que digitar e como é calculado

O cálculo é um caminho curto e plenamente determinístico. O módulo é a hipotenusa euclidiana de x e y. Se esse comprimento for, na prática, zero, o pedido falha, porque um deslocamento de comprimento nulo não aponta para lugar nenhum e um vetor unitário não pode ser formado.

Caso contrário o ângulo em radianos é atan2 de y e x, a forma em graus multiplica por cento e oitenta sobre pi, e um segundo campo em graus envolve o resultado com sinal no intervalo semiaberto de zero a trezentos e sessenta. As componentes unitárias são x sobre r e y sobre r.

Exemplo: x igual a três e y igual a quatro é o triângulo clássico três-quatro-cinco, de modo que o módulo é cinco, o rumo fica perto de cinquenta e três ponto treze graus e o vetor unitário é zero ponto seis e zero ponto oito. Exemplo: x igual a menos cinco e y igual a doze é um triângulo cinco-doze-treze no segundo quadrante. Não há terceira componente, nem um par esférico de ângulos, nem conversão automática das próprias componentes de pés para metros; quem chama escolhe um referencial cartesiano compartilhado.

Onde uma calculadora de vetores se justifica no estudo, no desenho e nos testes

As salas encontram esta conversão na semana em que a forma polar é apresentada: um livro didático dá as componentes de uma força, de um deslocamento ou de uma velocidade e pede o módulo e o ângulo a partir do eixo x positivo. Uma só chamada devolve as duas grandezas mais o vetor unitário, para que um aluno possa conferir uma chave completa em forma polar sem inverter à mão o sinal do quadrante.

Quem desenvolve jogos e hobbyistas de robótica recuperam o rumo de um vetor de velocidade ou de mira num plano 2D; converter com atan2 sem lógica de quadrantes feita à mão evita o erro clássico de informar que um personagem virado para a esquerda está virado para a direita. Cadernos de física resolvem uma força em comprimento e direção antes de projetá-la sobre um eixo. Nesta página o trabalho roda por completo no navegador.

Combine esta página com uma ferramenta de módulo n-dimensional quando o vetor não for planar, com uma página de ângulo de direção quando a única incógnita for o rumo, e com um conversor de ângulos quando os resultados precisarem aparecer em gradianos ou voltas.