z-Test-Rechner
Prüfen Sie, ob ein Stichprobenmittel zum hypothetischen Mittelwert passt, wenn die Standardabweichung der Population bekannt ist: 105 gegen 100 bei Standardabweichung 15 und 36 Beobachtungen ergibt einen Standardfehler von 2,5 und z gleich 2. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Stichprobenmittelwert
- 105
- Grundgesamtheitsmittelwert
- 100
- Std
- 15
- N
- 36
- Se
- 2,5
- Z
- 2
- P-Wert
- 0,0455001258
- Seiten
- Two
Ein Einstichproben-z-Test fragt, ob ein beobachtetes Stichprobenmittel mit einem hypothetischen Populationsmittel vereinbar ist, wenn die Standardabweichung der Population als bekannt gilt. Das Verfahren verdichtet diese vier Zahlen zu einer einzigen z-Statistik: dem vorzeichenbehafteten Abstand des Stichprobenmittels vom hypothetischen Wert, gemessen in Einheiten des Standardfehlers Sigma durch Wurzel n. Dieser z-Test-Rechner liefert jene z-Statistik zusammen mit dem passenden p-Wert, damit Sie das Ergebnis an einem üblichen Signifikanzniveau messen können. Der voreingestellte p-Wert ist zweiseitig; optionale linke und rechte Schwänze decken einseitige Alternativen ab. Eine Standardabweichung, die nicht streng positiv ist, wird abgelehnt, weil der Standardfehler keine brauchbare Skala wäre. Der Stichprobenumfang muss eine positive ganze Zahl sein.
Wie die z-Statistik aus Mittelwert, Sigma und n entsteht
Schreiben Sie die Nullhypothese als Populationsmittel gleich einem hypothetischen Wert mu-null und die Alternative als ungleich, kleiner oder größer je nach dem Schwanz, den Sie wählen. Die Stichprobenstreuung eines Mittels aus n unabhängigen Beobachtungen mit bekannter Populations-Standardabweichung Sigma wird durch den Standardfehler zusammengefasst: Sigma geteilt durch die Quadratwurzel von n. Subtrahieren Sie das hypothetische Populationsmittel vom beobachteten Stichprobenmittel und teilen Sie durch diesen Standardfehler.
Der Quotient ist die z-Statistik. Null bedeutet, die Stichprobe lag genau auf dem hypothetischen Wert. Plus zwei bedeutet, das Stichprobenmittel sitzt zwei Standardfehler über dem hypothetischen Mittel; minus zwei, zwei Standardfehler darunter.
Weil die Stichprobenverteilung des Mittels als normal mit diesem Standardfehler behandelt wird, wird die z-Statistik mit der Standardnormal-Kurve verglichen, um einen p-Wert zu erzeugen. Diese Fähigkeit führt nur jene Arithmetik aus. Sie schätzt Sigma nicht aus einer rohen Beobachtungsliste, wechselt bei kleinem n nicht zur t-Verteilung und berechnet weder Power noch einen benötigten Stichprobenumfang; das sind andere Suchabsichten.
Der Stichprobenumfang n muss eine ganze Zahl von mindestens eins sein, damit der Wurzelterm definiert ist.
Eingabevertrag, p-Werte und das Aussehen eines abgelehnten Sigma
Setzen Sie tails wahlweise auf two, left oder right. Das voreingestellte two ist der zweiseitige Test, dessen p-Wert das Doppelte des oberen Standardnormal-Schwanzes jenseits des Absolutbetrags von z ist. Left nutzt den unteren Schwanz Phi von z für die Alternative, dass das wahre Mittel kleiner als mu-null ist.
Right nutzt eins minus Phi von z für die Alternative, dass das wahre Mittel größer ist. Ein nicht ganzzahliges oder nicht positives n scheitert ebenso. Eine klassische Unterrichtsprüfung ist Stichprobenmittel 105 gegen ein hypothetisches Mittel 100, Sigma 15 und n 36: der Standardfehler ist 2.5, z gleich 2 und der zweiseitige p-Wert etwa viereinhalb Prozent.
Anwendungsfälle
z-Tests eines Mittels im Unterricht und in den Hausaufgaben
Prüfen Sie Lehrbuch-Einstichproben-z-Tests: setzen Sie x-quer, hypothetisches μ0, bekanntes σ und n ein und vergleichen Sie z-Statistik und zweiseitigen p-Wert mit dem Lösungsschlüssel.
Prozessmittel gegenüber einem bekannten Prozess-Sigma
Vergleichen Sie ein Chargen-Stichprobenmittel mit einem Prozessziel, wenn historisches σ bekannt ist, und lesen Sie den p-Wert, ohne die Standardfehlerformel in einer Tabelle neu aufzubauen.
LMS-Autobewertung von Hypothesentest-Aufgaben
Bewerten Sie z-Test-Fragen mit einem deterministischen Orakel, das nichtpositives σ ablehnt und nie einen p-Wert erfindet, wenn der Standardfehler undefiniert wäre.
Häufige Fragen
Wie lautet die Formel des Einstichproben-z-Tests?
z = (x̄ − μ0) / (σ / √n), wobei x̄ das Stichprobenmittel, μ0 das hypothetische Populationsmittel, σ die bekannte Standardabweichung und n der Stichprobenumfang ist. Der p-Wert stammt von der Standardnormal-Kurve Φ.
Was geschieht, wenn die Standardabweichung null oder negativ ist?
Der z-Test ist undefiniert, wenn σ nicht streng positiv ist, weil der Standardfehler σ/√n keine brauchbare Skala wäre.
Wann sollte ich einen z-Test statt eines t-Tests verwenden?
Verwenden Sie diesen z-Test, wenn die Populations-Standardabweichung als bekannt gilt. Haben Sie nur eine Stichproben-Standardabweichung, ist ein t-Test mit n−1 Freiheitsgraden das passende Verfahren und ein anderer Rechner.
Soll ich einen zweiseitigen oder einseitigen z-Test wählen?
Nehmen Sie den voreingestellten zweiseitigen Test, wenn jede Abweichung zählt. Wählen Sie die linke Seite, wenn Ihre Alternative einen kleineren wahren Mittelwert behauptet, und die rechte, wenn sie einen größeren behauptet.
Was passiert bei einer Standardabweichung von null oder darunter?
Der Rechner lehnt sie ab. Der Standardfehler entsteht aus der Standardabweichung geteilt durch die Wurzel aus n, und nur mit einem streng positiven Wert ergibt sich daraus ein brauchbarer Maßstab.
Entscheidet der Rechner, ob die Nullhypothese verworfen wird?
Nein. Er liefert z und den p-Wert; die Entscheidung treffen Sie selbst, indem Sie den p-Wert mit Ihrem gewählten Signifikanzniveau vergleichen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/z-test \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"sample_mean":105,"population_mean":100,"std":15,"n":36}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/z-test", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"sample_mean": 105,
"population_mean": 100,
"std": 15,
"n": 36
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/z-test",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"sample_mean": 105,
"population_mean": 100,
"std": 15,
"n": 36
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/z-test", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"sample_mean":105,"population_mean":100,"std":15,"n":36}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"sample_mean":105,"population_mean":100,"std":15,"n":36}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/z-test", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"sample_mean": 105,
"population_mean": 100,
"std": 15,
"n": 36
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.z_test",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wie die z-Statistik aus Mittelwert, Sigma und n entsteht
Die einzige harte mathematische Einschränkung an Sigma ist, dass es streng positiv sein muss: eine Null- oder negative Standardabweichung würde den Standardfehler undefiniert oder sinnlos machen und wird mit invalid_input abgelehnt.
Eingabevertrag, p-Werte und das Aussehen eines abgelehnten Sigma
Senden Sie vier erforderliche endliche Zahlen: sample_mean (das beobachtete x-quer; Aliase xbar und x_bar), population_mean (das hypothetische mu-null; Aliase mu, mu0 und hypothesized_mean), std (die bekannte Populations-Standardabweichung; Aliase sd, standard_deviation und sigma) und n (der Stichprobenumfang; Aliase sample_size und size). Fehlende Felder, nichtnumerische Zeichenketten, NaN und Infinity scheitern mit invalid_input und benennen das Feld und werden nicht berechnet. Bei Erfolg gibt der Rumpf die bereinigten Eingaben zurück, se (den Standardfehler), z (die z-Statistik), p_value, die tatsächlich verwendeten Schwänze und eine kurze Formelzeichenkette. Kombinieren Sie dieses JSON mit Ihrer eigenen Signifikanzschwelle; dieser Endpunkt entscheidet nicht über Ablehnen oder Beibehalten, er liefert nur z und p. Der API-Preis eines erfolgreichen Aufrufs ist die veröffentlichte Basis von $0.002 pro Element.
Wo ein Einstichproben-z-Test-Rechner in der Praxis vorkommt
Qualitätssicherungsteams vergleichen ein Chargenmittel mit einem Prozessziel, wenn das Prozess-Sigma aus einer langen Regelkarte bekannt ist, und brauchen dasselbe z und denselben p-Wert, den die Lehrbuchformel liefert, statt einer undurchsichtigen Tabellenzelle. Produkt- und Forschungsgruppen behandeln manchmal ein veröffentlichtes Populationsmittel und Sigma als Null, wenn eine neue Stichprobe von n Beobachtungen vorliegt, und wollen einen zweiseitigen p-Wert, bevor sie zu einem volleren t-Test oder einem Konfidenzintervall eskalieren. Wenn Sie später einen t-Test aus der Stichproben-Standardabweichung, einen z-Wert eines Rohwerts, eine Normal-CDF-Tafel oder zweiseitige kritische Werte aus Alpha brauchen, behandeln Sie diese als getrennte Suchabsichten und Landings statt diese z-Test-Seite zu überladen. Einführende Statistikkurse vergeben ständig z-Tests für ein Mittel, wenn Sigma in der Aufgabenstellung steht, Übungen zur empirischen Regel und Vergleiche eines Klassenmittels mit einem veröffentlichten Maßstab; ein einziges vertrauenswürdiges Orakel mit sauberem JSON beschleunigt Benotung und Demo-Aufbau. Weil diese Fähigkeit eine reine Parse-Engine ist, verbraucht fehlgeschlagene Validierung kein Prepaid-Guthaben und ein erfolgreicher Aufruf kostet die veröffentlichte Basis von $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz. Halten Sie n ganzzahlig, halten Sie Sigma streng positiv und pinnen Sie das gerundete z und p_value in Tests, damit Hausaufgabenschlüssel, LMS-Plugins und Edge-Worker reproduzierbar bleiben.
Technische Fragen
Ist der p-Wert einseitig oder zweiseitig?
Zweiseitig voreingestellt (tails=two): p = 2(1 − Φ(|z|)). Setzen Sie tails=left für H1: μ < μ0 oder tails=right für H1: μ > μ0.
Was kostet der z-Test-Rechner?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Anfragen nutzen Prepaid-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Element; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.