Wahrscheinlichkeit dreier Ereignisse

Die Chance, dass mindestens eines von drei benannten Ereignissen eintritt, ist nicht die Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten. Addiert man die drei Zahlen, zählt man jede paarweise Überlappung doppelt und unterzählt danach den Bereich, in dem alle drei zugleich eintreten. Inklusion-Exklusion behebt das: die drei Einzelwerte addieren, die drei paarweisen Schnitte subtrahieren und den Dreifachschnitt wieder hinzuaddieren. Dieser Rechner nimmt jene sieben Wahrscheinlichkeiten entgegen, prüft, dass jede im abgeschlossenen Einheitsintervall liegt und die gemeinsamen Werte elementare Fréchet-Schranken einhalten, und liefert die Vereinigung P(A ∪ B ∪ C) samt der komplementären Wahrscheinlichkeit, dass keines der drei eintritt.

Was Inklusion-Exklusion für drei Ereignisse berechnet

In einem Wahrscheinlichkeitsraum ist die Vereinigung der Ereignisse A, B und C die Menge der Ausgänge, die zu mindestens einem von ihnen gehören. Naives Addieren von P(A), P(B) und P(C) zählt jeden Ausgang eines paarweisen Schnitts zweimal und jeden Ausgang des Dreifachschnitts dreimal, sodass diese Summe keine Vereinigungswahrscheinlichkeit ist.

Die Inklusion-Exklusions-Identität macht diese Überzählung in zwei Korrekturen rückgängig: zuerst zieht man die drei paarweisen Gemeinsamen P(A ∩ B), P(A ∩ C) und P(B ∩ C) ab und entfernt damit die Extra-Kopie jeder Zwei-Mengen-Überlappung; danach addiert man P(A ∩ B ∩ C) wieder, weil die Dreifachregion dreimal addiert und dreimal subtrahiert wurde und sonst verschwände. Die kompakte Formel lautet P(A ∪ B ∪ C) gleich P(A) plus P(B) plus P(C) minus P(A ∩ B) minus P(A ∩ C) minus P(B ∩ C) plus P(A ∩ B ∩ C).

Das komplementäre Ereignis — keines der drei tritt ein — hat die Wahrscheinlichkeit eins minus dieser Vereinigung. Gegenseitige Ausschließlichkeit ist der Sonderfall, in dem jeder Schnitt null ist und die Vereinigung zu einer schlichten Summe zusammensinkt. Unabhängigkeit ist ein anderer Sonderfall, in dem jede Gemeinsame als Produkt der zugehörigen Einzelwerte faktorisiert.

Dieses Werkzeug nimmt keinen der beiden Fälle an: Es verwendet die Gemeinsamen, die Sie liefern, sodass abhängige Unterrichtsbeispiele und überlappende Fehlermodi korrekt rechnen.

Wer die Vereinigung dreier Ereignisse braucht

Unterricht und Nachhilfeplattformen nutzen einen Dreiereignis-Wahrscheinlichkeitsrechner, damit Lernende Inklusion-Exklusions-Aufgaben prüfen können, ohne das Vorzeichen des Dreifachtermes zu verdrehen. Klausurgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das eine Wahrscheinlichkeit von 1.2 ablehnt statt sie still zu kappen, damit ein fehlerhafter Bewerter eine unmögliche Eingabe nicht als erfolgreiche Null behandelt. Zuverlässigkeits- und Sicherheitsberichte gehen oft von drei überlappenden Fehlermodi aus — Sensor A, Sensor B und ein Alarm gemeinsamer Ursache C — und brauchen P(mindestens einer löst aus) aus kalibrierten Raten und gemessenen paarweisen Überlappungen, nicht aus einer Unabhängigkeit, die die Daten widerlegen.

Produktanalytik-Teams wandeln ausgewiesene Anteile (Nutzer, die Kampagne A, B oder C gesehen haben) in eine formale Vereinigung um, wenn das Berichtswerkzeug bereits paarweise und dreifache Überlappungszellen liefert. Eine gescheiterte Prüfung wird nicht berechnet. Verwechseln Sie diese Seite nicht mit einem Werkzeug für bedingte Wahrscheinlichkeit, das eine einzelne Gemeinsame durch eine Randwahrscheinlichkeit teilt, noch mit einem Bayes-Aktualisierer, der Likelihoods nimmt: hier kennen Sie die sieben Massen bereits und brauchen nur die Inklusion-Exklusions-Vereinigung.