Probabilidad de tres eventos

La probabilidad de que ocurra al menos uno de tres sucesos no es la suma de sus probabilidades individuales. Sumar las tres cifras cuenta dos veces cada solapamiento de pares y luego deja corto el recinto donde los tres suceden a la vez. La inclusión-exclusión lo corrige: se suman los tres individuales, se restan las tres intersecciones por pares y se vuelve a sumar la intersección triple. Esta calculadora acepta esas siete probabilidades, comprueba que cada una esté en el intervalo unitario cerrado y que las conjuntas respeten cotas elementales al estilo de Fréchet, y devuelve la unión P(A ∪ B ∪ C) junto con la probabilidad complementaria de que no ocurra ninguno de los tres.

Qué calcula la inclusión-exclusión con tres sucesos

En un espacio de probabilidad, la unión de los sucesos A, B y C es el conjunto de resultados que pertenecen a uno de ellos por lo menos. Sumar a ciegas P(A), P(B) y P(C) cuenta dos veces cada resultado de una intersección por pares y tres veces cada resultado de la intersección triple, así que esa suma no es la probabilidad de una unión.

La identidad de inclusión-exclusión deshace ese exceso en dos correcciones: primero se restan las tres conjuntas por pares P(A ∩ B), P(A ∩ C) y P(B ∩ C), lo que elimina la copia de más de cada solape de dos conjuntos; después se vuelve a sumar P(A ∩ B ∩ C), porque la región triple se había sumado tres veces y restado tres veces y, de no hacerlo, desaparecería.

La fórmula compacta es P(A ∪ B ∪ C) igual a P(A) más P(B) más P(C) menos P(A ∩ B) menos P(A ∩ C) menos P(B ∩ C) más P(A ∩ B ∩ C). El suceso complementario —que no ocurra ninguno de los tres— tiene probabilidad uno menos esa unión. La exclusividad mutua es el caso particular en el que toda intersección vale cero y la unión se reduce a una suma simple.

La independencia es otro caso particular, en el que cada conjunta se factoriza como producto de los individuales correspondientes. Esta herramienta no supone ninguno de esos casos: usa las conjuntas que usted envía, de modo que los ejemplos escolares dependientes y los modos de fallo solapados se calculan bien.

Quién necesita la unión de tres sucesos

Las aulas y las plataformas de tutoría usan una calculadora de probabilidad de tres sucesos para que el alumnado compruebe deberes de inclusión-exclusión sin invertir el signo del término triple. Los generadores de exámenes necesitan un oráculo determinista que rechace una probabilidad de 1.2 en lugar de recortarla en silencio, de modo que un calificador defectuoso no trate una entrada imposible como un cero exitoso.

Los informes de fiabilidad y seguridad suelen partir de tres modos de fallo solapados —sensor A, sensor B y una alarma de causa común C— y necesitan P(al menos uno se dispara) a partir de tasas calibradas y solapes por pares medidos, no de una independencia que los datos contradicen. Los equipos de analítica de producto convierten tasas publicadas (cuota de usuarios que vieron la campaña A, la B o la C) en una unión formal cuando la herramienta de informes ya entrega celdas de solape por pares y triple.

Una validación fallida no consume saldo. No confunda esta página con una herramienta de probabilidad condicional que divide una sola conjunta por una marginal, ni con un actualizador de Bayes que toma verosimilitudes: aquí ya conoce las siete masas y solo necesita la unión por inclusión-exclusión.