Probabilità di tre eventi

La probabilità che si verifichi almeno uno di tre eventi nominati non è la somma delle loro probabilità singole. Sommare le tre cifre conta due volte ogni sovrapposizione a coppie e poi sottostima la regione in cui i tre accadono insieme. L'inclusione-esclusione lo corregge: si sommano i tre singoli, si sottraggono le tre intersezioni a coppie e si riaggiunge l'intersezione tripla. Questo calcolatore accetta quelle sette probabilità, verifica che ciascuna stia nell'intervallo unitario chiuso e che le congiunte rispettino limiti elementari in stile Fréchet, e restituisce l'unione P(A ∪ B ∪ C) insieme alla probabilità complementare che nessuno dei tre si verifichi.

Che cosa calcola l'inclusione-esclusione per tre eventi

In uno spazio di probabilità l'unione degli eventi A, B e C è l'insieme degli esiti che appartengono ad almeno uno di essi. Sommare alla cieca P(A), P(B) e P(C) conta due volte ogni esito di un'intersezione a coppie e tre volte ogni esito dell'intersezione tripla, quindi quella somma non è la probabilità di un'unione.

L'identità di inclusione-esclusione disfa quel sovracconto in due correzioni: prima si sottraggono le tre congiunte a coppie P(A ∩ B), P(A ∩ C) e P(B ∩ C), togliendo la copia in più di ogni sovrapposizione di due insiemi; poi si riaggiunge P(A ∩ B ∩ C), perché la regione tripla era stata sommata tre volte e sottratta tre volte e altrimenti sparirebbe.

La formula compatta è P(A ∪ B ∪ C) uguale a P(A) più P(B) più P(C) meno P(A ∩ B) meno P(A ∩ C) meno P(B ∩ C) più P(A ∩ B ∩ C). L'evento complementare — nessuno dei tre si verifica — ha probabilità uno meno quella unione. L'esclusività reciproca è il caso particolare in cui ogni intersezione vale zero e l'unione si riduce a una somma semplice.

L'indipendenza è un altro caso particolare, in cui ciascuna congiunta si fattorizza come prodotto dei singoli corrispondenti. Questo strumento non assume nessuno dei due casi: usa le congiunte che Lei invia, così esempi scolastici dipendenti e modi di guasto sovrapposti si calcolano correttamente.

Chi ha bisogno dell'unione di tre eventi

Le aule e le piattaforme di tutoraggio usano un calcolatore di probabilità di tre eventi perché gli allievi possano controllare i compiti di inclusione-esclusione senza invertire il segno del termine triplo. I generatori di prove necessitano di un oracolo deterministico che rifiuti una probabilità di 1.2 invece di ritagliarla in silenzio, così un correttore difettoso non tratta un ingresso impossibile come uno zero riuscito.

Le relazioni di affidabilità e sicurezza partono spesso da tre modi di guasto sovrapposti — sensore A, sensore B e un allarme di causa comune C — e necessitano di P(almeno uno scatta) da tassi calibrati e sovrapposizioni a coppie misurate, non da un'indipendenza che i dati contraddicono. I team di analitica di prodotto convertono tassi pubblicati (quota di utenti che hanno visto la campagna A, B o C) in un'unione formale quando lo strumento di reportistica fornisce già le celle di sovrapposizione a coppie e tripla.

Una convalida fallita non consuma il saldo. Non confonda questa pagina con uno strumento di probabilità condizionata che divide una sola congiunta per una marginale, né con un aggiornatore di Bayes che prende verosimiglianze: qui Lei conosce già le sette masse e serve solo l'unione per inclusione-esclusione.