Probabilité de trois événements

La chance qu'au moins un de trois événements nommés se produise n'est pas la somme de leurs probabilités individuelles. Additionner les trois chiffres compte deux fois chaque recouvrement par paires, puis sous-compte la zone où les trois arrivent ensemble. L'inclusion-exclusion corrige cela : on ajoute les trois individuels, on retranche les trois intersections deux à deux, puis on rajoute l'intersection triple. Ce calculateur accepte ces sept probabilités, vérifie que chacune appartient à l'intervalle unitaire fermé et que les conjointes respectent des bornes élémentaires à la Fréchet, et renvoie l'union P(A ∪ B ∪ C) ainsi que la probabilité complémentaire qu'aucun des trois n'arrive.

Ce que l'inclusion-exclusion calcule pour trois événements

Dans un espace de probabilité, l'union des événements A, B et C est l'ensemble des issues qui appartiennent à l'un d'eux au moins. Additionner naïvement P(A), P(B) et P(C) compte deux fois chaque issue d'une intersection par paires et trois fois chaque issue de l'intersection triple, si bien que cette somme n'est pas la probabilité d'une union.

L'identité d'inclusion-exclusion défait ce trop-plein en deux corrections : on retranche d'abord les trois conjointes par paires P(A ∩ B), P(A ∩ C) et P(B ∩ C), ce qui ôte la copie en trop de chaque recouvrement de deux ensembles ; on rajoute ensuite P(A ∩ B ∩ C), car la région triple a été ajoutée trois fois et retranchée trois fois et disparaîtrait sinon.

La formule compacte est P(A ∪ B ∪ C) égal à P(A) plus P(B) plus P(C) moins P(A ∩ B) moins P(A ∩ C) moins P(B ∩ C) plus P(A ∩ B ∩ C). L'événement complémentaire — aucun des trois ne se produit — a pour probabilité un moins cette union. L'exclusivité mutuelle est le cas particulier où toute intersection vaut zéro et l'union se réduit à une somme simple.

L'indépendance est un autre cas particulier, où chaque conjointe se factorise en produit des individuels correspondants. Cet outil n'assume aucun de ces cas : il utilise les conjointes que vous fournissez, de sorte que les exemples scolaires dépendants et les modes de défaillance qui se recouvrent se calculent correctement.

Qui a besoin de l'union de trois événements

Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur de probabilité de trois événements pour que les élèves vérifient un devoir d'inclusion-exclusion sans inverser le signe du terme triple. Les générateurs d'examens ont besoin d'un oracle déterministe qui refuse une probabilité de 1.2 au lieu de la tronquer en silence, afin qu'un correcteur défectueux ne traite pas une entrée impossible comme un zéro réussi.

Les notes de fiabilité et de sûreté partent souvent de trois modes de défaillance qui se recouvrent — capteur A, capteur B et une alarme de cause commune C — et ont besoin de P(au moins un se déclenche) à partir de taux calibrés et de recouvrements par paires mesurés, plutôt que d'une indépendance que les données contredisent.

Les équipes d'analytique produit transforment des taux publiés (part d'utilisateurs ayant vu la campagne A, B ou C) en union formelle lorsque l'outil de reporting fournit déjà les cellules de recouvrement par paires et triple. Une validation échouée ne consomme pas le solde. Ne confondez pas cette page avec un outil de probabilité conditionnelle qui divise une seule conjointe par une marginale, ni avec un actualiseur de Bayes qui prend des vraisemblances : ici vous connaissez déjà les sept masses et n'avez besoin que de l'union par inclusion-exclusion.