Calculateur de propagation d'erreurs

Lorsqu'une grandeur dérivée est calculée à partir d'entrées mesurées, l'erreur-type de chaque entrée contribue à l'incertitude du résultat. La propagation d'erreurs au premier ordre — l'approximation linéaire gaussienne ou GUM — combine ces contributions par les dérivées partielles de la formule. Ce calculateur de propagation d'erreurs accepte une formule algébrique ainsi que des valeurs nommées et leurs erreurs-types, évalue l'expression et renvoie le résultat avec l'incertitude-type combinée sous l'hypothèse habituelle d'entrées indépendantes. Sommes, produits, quotients, puissances et fonctions de laboratoire courantes telles que la racine carrée et le logarithme tiennent dans un même contrat, de sorte que vous n'avez pas à mémoriser une identité particulière pour chaque expérience.

Ce que calcule vraiment la propagation d'erreurs au premier ordre

La propagation d'erreurs répond à une question de laboratoire qu'une calculatrice nue ne pose jamais : si chaque entrée n'est connue que jusqu'à une erreur-type déclarée, quelle est l'incertitude-type du nombre que vous venez de calculer ? La règle gaussienne du premier ordre, qui est aussi le terme linéaire du Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure, linéarise la formule autour du point mesuré et additionne les contributions indépendantes en quadrature.

Écrite en toutes lettres, l'incertitude-type combinée est la racine carrée de la somme de chaque dérivée partielle multipliée par l'erreur-type correspondante, le tout au carré. Pour une somme ou une différence les partielles valent plus un ou moins un, si bien que l'incertitude combinée est simplement la racine de la somme des carrés des erreurs d'entrée. Pour un produit ou un quotient la même identité devient la combinaison familière des erreurs relatives.

Pour une puissance, une racine carrée ou un logarithme la partielle n'est plus triviale, c'est pourquoi un moteur de formules général est plus honnête qu'une paire de boutons figés produit et somme. Ce calculateur évalue la formule par différentiation automatique en mode direct, de sorte que chaque opérateur et chaque fonction pris en charge contribue une première dérivée exacte plutôt qu'une estimation par différences finies qui dépendrait d'un pas caché.

Les entrées sont traitées comme non corrélées : il n'y a ni matrice de covariances, ni tirage Monte Carlo, ni terme hessien du second ordre. C'est le modèle indépendant du premier ordre des manuels, celui des laboratoires de licence et de la plupart des colonnes d'incertitude d'un LIMS. Si une erreur-type est négative, la requête est rejetée, car une erreur-type est une largeur non négative, non un résidu signé.

Zéro est admis et signifie que cette entrée est traitée comme exacte. La réponse indique le résultat évalué, l'incertitude combinée, les incertitudes relative et en pour cent facultatives lorsque le résultat n'est pas zéro, et une ventilation par variable des partielles et des contributions à la variance afin que vous voyiez quelle mesure domine le budget.

Contrat d'entrée, formules prises en charge et signalement des erreurs

Au moins une variable est exigée et la liste est plafonnée afin qu'un collage de carnet ne s'emballe pas. La syntaxe prise en charge comprend plus, moins, multiplier, diviser, la puissance en circonflexe ou double étoile, les parenthèses et la multiplication implicite telle que deux pi r ou deux a. Les constantes intégrées sont pi et e.

Les fonctions intégrées sont sqrt, exp, ln, log (népérien), log10, sin, cos, tan, abs, asin, acos, atan et pow, avec des arguments trigonométriques en radians. Un contrôle classique de produit est la formule a fois b avec a égal à deux plus ou moins un dixième et b égal à trois plus ou moins deux dixièmes : le résultat est six et l'incertitude combinée vaut exactement un demi, car les partielles valent trois et deux.

Un contrôle de masse volumique m sur v avec une masse dix plus ou moins un dixième et un volume deux plus ou moins cinq centièmes donne cinq avec une incertitude combinée voisine de cent trente-cinq millièmes.

Quand propager l'incertitude est utile

Les laboratoires de licence en physique, chimie et ingénierie demandent aux étudiants de citer un résultat dérivé avec une incertitude combinée plutôt que de copier seulement la valeur centrale d'une calculatrice. Les plateformes d'enseignement et les générateurs d'examens ont besoin d'un oracle déterministe qui marque une erreur-type négative comme invalide, au lieu de prendre une valeur absolue et de noter en silence une feuille négligée comme correcte.

Les laboratoires d'analyse et d'étalonnage attachent une incertitude du premier ordre à des formules de masse volumique, de résistance, de débit et de rendement dans un LIMS ou des travaux de carnet, sans déployer un système de calcul formel. Les équipes qualité et métrologie comparent quelle entrée domine la contribution à la variance lorsqu'elles décident d'acheter une meilleure balance ou un meilleur thermomètre. Une validation en échec ne consomme pas le solde.