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Calculateur pour multiplier des radicaux

Multipliez deux racines et obtenez le produit sous sa forme la plus simple : √8 fois √2 donne 4. Les racines d'indices différents sont d'abord ramenées à un indice commun, puis toute puissance parfaite sort de la racine. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez

Radicande a: 8
Indice a: 2
Radicande b: 2
Indice b: 2

Vous obtenez

Coefficient: 4
Indice: 1
Radicande: 1
Expression: 4

Multiplier des radicaux est une compétence centrale de l'algèbre : le produit de deux racines est une autre racine, et ce produit se réécrit ensuite sous sa forme la plus simple. Ce calculateur de multiplication de radicaux accepte le radicande et l'indice de chaque facteur, applique l'identité selon laquelle la racine n-ième de a fois la racine m-ième de b égale la racine L-ième de a élevé à L sur n fois b élevé à L sur m, où L est le plus petit commun multiple des deux indices, puis extrait chaque puissance L-ième parfaite du radicande combiné. La réponse est le triplet simplifié coefficient, index et radicand restant, plus une chaîne d'affichage et un produit numérique que vous pouvez figer dans les tests. Toute valeur non finie est rejetée de la même façon.

Ce que le produit de deux radicaux signifie et comment il se simplifie

Un radical ⁿ√a est la racine n-ième réelle principale du radicande a. Lorsque deux telles racines sont multipliées, la règle du produit des radicaux dit qu'elles se combinent sous un indice commun. Si les indices sont déjà égaux, ⁿ√a · ⁿ√b égale ⁿ√(a·b) et il ne reste qu'à simplifier la racine unique obtenue.

Si les indices diffèrent, réécrivez les deux facteurs avec L égal au plus petit commun multiple de n et m : ⁿ√a devient ᴸ√(a^{L/n}) et ᵐ√b devient ᴸ√(b^{L/m}), donc le produit est ᴸ√(a^{L/n} · b^{L/m}). Simplifier signifie alors extraire chaque puissance L-ième parfaite comme coefficient entier et laisser un radicande sans puissance L-ième. L'indice restant peut se réduire lorsque chaque exposant restant partage un facteur commun avec L : la racine sixième de 324 est la racine cubique de 18 après division des exposants et de l'indice par deux.

Les signes sont suivis à part, car une puissance paire masquerait un radicande négatif : la racine cubique de moins huit fois la racine carrée de quatre vaut moins quatre, non plus quatre. Lorsque le radicande restant vaut un, le produit est un nombre rationnel et le calculateur renvoie index un avec radicand un, afin que les clients traitent un entier déjà simplifié tel que douze comme un coefficient nu.

Cas d’usage

Contrôles en classe et devoirs

Laissez les élèves saisir deux radicandes et indices et vérifier le produit simplifié contre la méthode d'indice commun des manuels.

Notation automatique d'examens et LMS

Notez les items de multiplication de radicaux avec un oracle déterministe qui refuse un radicande négatif d'indice pair et n'invente jamais une racine complexe.

Carnets qui réduisent des racines imbriquées

Multipliez et simplifiez deux radicaux réels dans des scripts de calibrage ou de géométrie sans importer une bibliothèque complète d'algèbre informatique.

Questions fréquentes

Comment multiplier deux radicaux de même indice ?

Envoyez les deux radicandes et l'indice partagé. Le produit est la racine de ce même indice du produit des radicandes, puis simplifié en extrayant les puissances parfaites (par exemple √8 · √2 = √16 = 4).

Comment multiplier des radicaux d'indices différents ?

Envoyez les deux indices. Le calculateur réécrit les facteurs avec L = lcm(n, m) de sorte que ⁿ√a · ᵐ√b = ᴸ√(a^{L/n} · b^{L/m}), puis extrait les puissances L-ièmes parfaites. √8 · ∛2 devient 2 · ⁶√32.

Pourquoi un radicande négatif d'indice pair est-il rejeté ?

Les racines d'indice pair de nombres négatifs ne sont pas réelles. Les négatifs d'indice impair sont acceptés et le signe voyage sur le coefficient.

Que contient le résultat simplifié ?

Un produit entièrement rationnel utilise index 1 et radicand 1.

Peut-on multiplier la racine cubique d'un nombre négatif ?

Oui. Une racine d'indice impair d'un nombre négatif est négative, et le signe passe dans le coefficient : la racine cubique de −8 fois la racine carrée de 4 donne −4, et non 4.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/multiplying-radicals

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/multiplying-radicals \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"radicand_a":8,"index_a":2,"radicand_b":2,"index_b":2}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/multiplying-radicals", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "radicand_a": 8,
    "index_a": 2,
    "radicand_b": 2,
    "index_b": 2
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/multiplying-radicals",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "radicand_a": 8,
    "index_a": 2,
    "radicand_b": 2,
    "index_b": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/multiplying-radicals", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"radicand_a":8,"index_a":2,"radicand_b":2,"index_b":2}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"radicand_a":8,"index_a":2,"radicand_b":2,"index_b":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/multiplying-radicals", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "radicand_a": 8,
  "index_a": 2,
  "radicand_b": 2,
  "index_b": 2
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.multiplying_radicals",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Limites

`max_abs_radicand`	1000000000000
`min_index`	2
`max_index`	24

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Un radicande négatif d'indice pair n'est pas un nombre réel et échoue avec invalid_input au lieu d'un joker complexe.

Contrat d'entrée, forme de la réponse et comportement d'erreur

Les indices doivent être des entiers de deux à vingt-quatre ; deux est une racine carrée et trois une racine cubique. Si un radicande est négatif et que son indice est pair, le gestionnaire refuse la requête avec un message clair : les radicaux d'indice pair de nombres négatifs ne sont pas réels ; ces échecs ne sont pas facturés. Les négatifs d'indice impair sont licites : la racine cubique d'un nombre négatif est négative, et le signe entre dans le coefficient du produit. Envoyez par POST un corps JSON avec quatre nombres finis obligatoires : radicand_a et index_a du premier radical, radicand_b et index_b du second. Chaque radicande peut arriver comme nombre JSON ou comme chaîne numérique, y compris une rationnelle qui se convertit exactement en fraction. Les alias a et n du premier facteur et b et m du second sont acceptés afin que les scripts réutilisent les noms de manuel. Les champs manquants, les chaînes vides et les valeurs non finies échouent avec invalid_input en nommant le champ. En cas de succès, le corps renvoie en écho les quatre entrées, coefficient, index et radicand du produit simplifié, une chaîne expression telle que 2√6 ou 2[6]√32, un affichage non simplifié des facteurs d'origine, un product_value arrondi à douze décimales pour des références stables, et une chaîne formula qui reformule l'identité d'indice commun. Exemple : radicand_a huit, index_a deux, radicand_b deux, index_b deux est la racine carrée de huit fois la racine carrée de deux, qui se simplifie en quatre.

Où une API de multiplication de radicaux prouve son utilité

Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent un calculateur de multiplication de radicaux pour que les apprenants vérifient la règle du produit et l'extraction des puissances parfaites sans perdre un facteur de deux en combinant les racines carrées de huit et de dix-huit. Les générateurs de préparation aux examens ont besoin d'un oracle déterministe qui marque comme invalide un radicande négatif d'indice pair au lieu de renvoyer silencieusement un NaN qu'un correcteur défectueux pourrait traiter comme un succès. Une validation en échec ne consomme pas le solde. Les carnets de science et d'ingénierie réduisent souvent des racines imbriquées apparues après la multiplication de longueurs caractéristiques ou d'amplitudes d'onde ; appeler un petit endpoint d'analyse évite de tirer un système complet d'algèbre informatique pour deux indices et deux radicandes. Comme l'implémentation est de l'analyse pure de palier A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant. Gardez les requêtes dans les limites publiées de grandeur et d'indice, figez le product_value arrondi et la chaîne expression dans les tests, et vous obtenez des produits simplifiés reproductibles pour les devoirs, les greffons LMS et les workers en périphérie sans dresser votre propre infrastructure de mathématiques symboliques.

Questions techniques

Combien coûte le calculateur de multiplication de radicaux ?

L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.

Consulter la documentation complète du KIT →

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