Calculadora de multiplicar radicais
Multiplique duas raízes e receba o produto na forma mais simples: √8 vezes √2 dá 4. Raízes de índices diferentes são levadas antes a um índice comum, e depois toda potência perfeita sai da raiz. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Radicando a
- 8
- Índice a
- 2
- Radicando b
- 2
- Índice b
- 2
- Coeficiente
- 4
- Índice
- 1
- Radicando
- 1
- Expressão
- 4
Multiplicar radicais é uma habilidade central da álgebra: o produto de duas raízes é outra raiz, e esse produto depois se reescreve na forma mais simples. Esta calculadora de multiplicar radicais aceita o radicando e o índice de cada fator, aplica a identidade segundo a qual a raiz n-ésima de a vezes a raiz m-ésima de b é igual à raiz L-ésima de a elevado a L sobre n vezes b elevado a L sobre m, em que L é o mínimo múltiplo comum dos dois índices, e em seguida extrai cada potência L-ésima perfeita do radicando combinado. A resposta é a terna simplificada de coefficient, index e radicand restante, mais uma string de apresentação e um produto numérico que você pode fixar nos testes. Qualquer valor não finito é rejeitado do mesmo modo.
O que o produto de dois radicais significa e como se simplifica
Um radical ⁿ√a é a raiz n-ésima real principal do radicando a. Quando duas raízes desse tipo se multiplicam, a regra do produto de radicais diz que elas se combinam sob um índice comum. Se os índices já são iguais, ⁿ√a · ⁿ√b equivale a ⁿ√(a·b) e basta simplificar a raiz resultante.
Se os índices diferem, reescreva os dois fatores com L igual ao mínimo múltiplo comum de n e m: ⁿ√a passa a ᴸ√(a^{L/n}) e ᵐ√b passa a ᴸ√(b^{L/m}), de modo que o produto é ᴸ√(a^{L/n} · b^{L/m}). Simplificar então significa extrair cada potência L-ésima perfeita como coeficiente inteiro e deixar um radicando livre de potências L-ésimas.
O índice restante pode encolher quando todo expoente que sobra compartilha um fator comum com L: a raiz sexta de 324 é a raiz cúbica de 18 depois de dividir expoentes e índice por dois. Os sinais são acompanhados à parte porque uma potência par esconderia um radicando negativo: a raiz cúbica de menos oito vezes a raiz quadrada de quatro é menos quatro, não mais quatro.
Quando o radicando que sobra é um, o produto é um número racional e a calculadora devolve index um com radicand um, para que os clientes tratem um inteiro já simplificado como doze como um coefficient simples.
Casos de uso
Checagens de sala e lição de casa
Deixe o alunado informar dois radicandos e índices e conferir o produto simplificado com o método de índice comum dos livros didáticos.
Correção automática em exames e LMS
Corrija itens de multiplicar radicais com um oráculo determinístico que rejeita um radicando negativo de índice par e nunca inventa uma raiz complexa.
Cadernos que reduzem raízes aninhadas
Multiplique e simplifique dois radicais reais em scripts de calibração ou geometria sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Como multiplico dois radicais com o mesmo índice?
Envie os dois radicandos e o índice compartilhado. O produto é a raiz desse mesmo índice do produto dos radicandos, depois simplificada ao extrair potências perfeitas (por exemplo √8 · √2 = √16 = 4).
Como multiplico radicais que têm índices diferentes?
Envie os dois índices. A calculadora reescreve os fatores com L = lcm(n, m) de modo que ⁿ√a · ᵐ√b = ᴸ√(a^{L/n} · b^{L/m}), e depois extrai potências L-ésimas perfeitas. √8 · ∛2 vira 2 · ⁶√32.
Por que um radicando negativo com índice par é rejeitado?
Raízes de índice par de números negativos não são reais. Negativos de índice ímpar são aceitos e o sinal viaja no coeficiente.
O que o resultado simplificado contém?
Um produto totalmente racional usa index 1 e radicand 1.
Posso multiplicar a raiz cúbica de um número negativo?
Sim. Uma raiz de índice ímpar de um número negativo é negativa, e o sinal passa para o coeficiente: a raiz cúbica de −8 vezes a raiz quadrada de 4 dá −4, e não 4.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/multiplying-radicals \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"radicand_a":8,"index_a":2,"radicand_b":2,"index_b":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/multiplying-radicals", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"radicand_a": 8,
"index_a": 2,
"radicand_b": 2,
"index_b": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/multiplying-radicals",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"radicand_a": 8,
"index_a": 2,
"radicand_b": 2,
"index_b": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/multiplying-radicals", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"radicand_a":8,"index_a":2,"radicand_b":2,"index_b":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"radicand_a":8,"index_a":2,"radicand_b":2,"index_b":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/multiplying-radicals", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"radicand_a": 8,
"index_a": 2,
"radicand_b": 2,
"index_b": 2
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.multiplying_radicals",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_abs_radicand | 1000000000000 |
min_index | 2 |
max_index | 24 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Um radicando negativo com índice par não é um número real e falha com invalid_input em vez de um curinga complexo.
Contrato de entrada, forma da resposta e comportamento de erro
Os índices devem ser inteiros de dois a vinte e quatro; dois é uma raiz quadrada e três é uma raiz cúbica. Negativos de índice ímpar são lícitos: a raiz cúbica de um número negativo é negativa, e o sinal entra no coeficiente do produto. Envie por POST um corpo JSON com quatro números finitos obrigatórios: radicand_a e index_a do primeiro radical, radicand_b e index_b do segundo. Cada radicando pode chegar como número JSON ou como string numérica, inclusive uma racional que se converte exatamente em fração. Aceitam-se os alias a e n do primeiro fator e b e m do segundo, para que os scripts reutilizem nomes de livro. Campos ausentes, strings vazias e valores não finitos falham com invalid_input nomeando o campo. Em caso de sucesso o corpo ecoa as quatro entradas, devolve coefficient, index e radicand do produto simplificado, uma string expression como 2√6 ou 2[6]√32, uma apresentação não simplificada dos fatores originais, um product_value arredondado a doze casas decimais para goldens estáveis, e uma string formula que reformula a identidade de índice comum. Exemplo: radicand_a oito, index_a dois, radicand_b dois, index_b dois é a raiz quadrada de oito vezes a raiz quadrada de dois, que se simplifica a quatro.
Onde uma API de multiplicar radicais justifica o uso
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de multiplicar radicais para que quem aprende confira a regra do produto e a extração de potências perfeitas sem perder um fator de dois ao combinar as raízes quadradas de oito e dezoito. Geradores de preparação para exames precisam de um oráculo determinístico que marque como inválido um radicando negativo com índice par em vez de devolver em silêncio um NaN que um corretor com defeito poderia tratar como sucesso. A validação que falha não consome saldo. Cadernos de ciência e engenharia muitas vezes reduzem raízes aninhadas que aparecem depois de multiplicar comprimentos característicos ou amplitudes de onda; chamar um endpoint de parse pequeno evita puxar um sistema completo de álgebra computacional por dois índices e dois radicandos. Como a implementação é parse puro de tier A, cada chamada bem-sucedida custa o preço-base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída. Mantenha os pedidos dentro dos limites publicados de magnitude e índice, fixe o product_value arredondado e a string expression nos testes, e você obtém produtos simplificados reproduzíveis para lição de casa, plugins de LMS e workers na borda sem montar infraestrutura própria de matemática simbólica.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de multiplicar radicais?
A ferramenta do navegador é gratuita. As solicitações da API usam saldo pré-pago do KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.