Fehlerfortpflanzungs-Rechner

Wenn eine abgeleitete Größe aus gemessenen Eingaben berechnet wird, trägt der Standardfehler jeder Eingabe zur Unsicherheit des Ergebnisses bei. Die Fehlerfortpflanzung erster Ordnung — die gaußsche bzw. GUM-Linearisierung — verbindet diese Beiträge über die partiellen Ableitungen der Formel. Dieser Fehlerfortpflanzungs-Rechner nimmt eine algebraische Formel zusammen mit benannten Werten und ihren Standardfehlern entgegen, wertet den Ausdruck aus und liefert das Ergebnis mit der kombinierten Standardunsicherheit unter der üblichen Annahme unabhängiger Eingaben. Summen, Produkte, Quotienten, Potenzen und gängige Laborfunktionen wie Quadratwurzel und Logarithmus liegen in einem Vertrag, sodass Sie sich keine Sonderidentität für jedes Experiment merken müssen.

Was die Fehlerfortpflanzung erster Ordnung tatsächlich berechnet

Fehlerfortpflanzung beantwortet eine Laborfrage, die ein nackter Taschenrechner nie stellt: Wenn jede Eingabe nur bis zu einem angegebenen Standardfehler bekannt ist, wie groß ist die Standardunsicherheit der soeben berechneten Zahl? Die gaußsche Regel erster Ordnung, zugleich der lineare Term im Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen, linearisiert die Formel um den Messpunkt und addiert die unabhängigen Beiträge in Quadratur. Ausgeschrieben ist die kombinierte Standardunsicherheit die Quadratwurzel der Summe aus jeder partiellen Ableitung mal dem passenden Standardfehler, alles quadriert.

Bei einer Summe oder Differenz sind die Partiellen plus oder minus eins, daher ist die kombinierte Unsicherheit einfach die Wurzel aus der Quadratsumme der Eingabefehler. Bei einem Produkt oder Quotienten wird dieselbe Identität zur vertrauten Kombination relativer Fehler. Bei einer Potenz, einer Quadratwurzel oder einem Logarithmus ist die Partielle nicht mehr trivial; deshalb ist eine allgemeine Formel-Engine ehrlicher als ein fest verdrahtetes Paar aus Produkt- und Summentasten.

Dieser Rechner wertet die Formel mit Vorwärts-Automatikdifferenzierung aus, sodass jeder unterstützte Operator und jede Funktion eine exakte erste Ableitung liefert statt einer Finite-Differenzen-Schätzung, die von einer versteckten Schrittweite abhängt. Eingaben gelten als unkorreliert: Es gibt keine Kovarianzmatrix, keine Monte-Carlo-Ziehung und keinen Hesse-Term zweiter Ordnung. Das ist das lehrbuchmäßige unabhängige Modell erster Ordnung, das in grundständigen Laboren und in den meisten Unsicherheitsspalten eines LIMS verwendet wird.

Ist irgendein Standardfehler negativ, wird die Anfrage zurückgewiesen, weil ein Standardfehler eine nichtnegative Breite ist, kein vorzeichenbehaftetes Residuum. Null ist zulässig und bedeutet, dass diese Eingabe als exakt gilt. Die Antwort nennt das ausgewertete Ergebnis, die kombinierte Unsicherheit, optionale relative und prozentuale Unsicherheiten wenn das Ergebnis nicht null ist, und eine Aufschlüsselung je Variable nach Partiellen und Varianzbeiträgen, damit Sie sehen, welche Messung das Budget beherrscht.

Eingabevertrag, unterstützte Formeln und wie Fehler gemeldet werden

Mindestens eine Variable ist erforderlich, und die Liste ist gedeckelt, damit ein eingefügter Notizbuch-Auszug nicht ausufert. Die unterstützte Syntax umfasst plus, minus, mal, geteilt, Potenz mit Zirkumflex oder Doppelstern, Klammern und implizite Multiplikation wie zwei pi r oder zwei a. Eingebaute Konstanten sind pi und e.

Eingebaute Funktionen sind sqrt, exp, ln, log (natürlich), log10, sin, cos, tan, abs, asin, acos, atan und pow, mit trigonometrischen Argumenten im Bogenmaß. Eine klassische Produktprüfung ist die Formel a mal b mit a gleich zwei plus oder minus ein Zehntel und b gleich drei plus oder minus zwei Zehntel: Das Ergebnis ist sechs und die kombinierte Unsicherheit genau ein Halbes, weil die Partiellen drei und zwei betragen.

Eine Dichteprüfung m durch v mit Masse zehn plus oder minus ein Zehntel und Volumen zwei plus oder minus fünf Hundertstel ergibt fünf mit einer kombinierten Unsicherheit nahe einhundertfünfunddreißig Tausendstel.

Wo sich Fehlerfortpflanzung besonders lohnt

Grundständige Physik-, Chemie- und Ingenieurlabore verlangen, dass Studierende ein abgeleitetes Ergebnis mit kombinierter Unsicherheit angeben statt nur den Zentralwert vom Taschenrechner zu kopieren. Lehrplattformen und Prüfungsgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das einen negativen Standardfehler als ungültig markiert, statt den Absolutbetrag zu nehmen und eine nachlässige Tabelle still als richtig zu werten. Analyse- und Kalibrierlabore hängen eine Unsicherheit erster Ordnung an Dichte-, Widerstands-, Durchfluss- und Ausbeuteformeln in einem LIMS oder in Notizbuchaufträgen, ohne ein Computeralgebrasystem aufzustellen.

Qualitäts- und Metrologieteams vergleichen, welche Eingabe den Varianzbeitrag beherrscht, wenn sie entscheiden, ob eine bessere Waage oder ein besseres Thermometer gekauft wird. Eine fehlgeschlagene Prüfung wird nicht berechnet.