Calculadora de propagação de erros

Quando uma grandeza derivada é calculada a partir de entradas medidas, o erro-padrão de cada entrada contribui para a incerteza do resultado. A propagação de erros de primeira ordem — a aproximação linear gaussiana ou GUM — combina essas contribuições por meio das derivadas parciais da fórmula. Esta calculadora de propagação de erros aceita uma fórmula algébrica junto com valores nomeados e seus erros-padrão, avalia a expressão e devolve o resultado com a incerteza-padrão combinada sob a hipótese usual de que as entradas são independentes. Soma, produtos, quocientes, potências e funções comuns de laboratório como raiz quadrada e logaritmo cabem no mesmo contrato, para que você não precise decorar uma identidade especial para cada experimento.

O que a propagação de erros de primeira ordem realmente calcula

A propagação de erros responde a uma pergunta de laboratório que uma calculadora nua nunca faz: se cada entrada é conhecida apenas até um erro-padrão declarado, qual é a incerteza-padrão do número que você acabou de calcular? A regra gaussiana de primeira ordem, que também é o termo linear do Guia para a Expressão da Incerteza de Medição, lineariza a fórmula em torno do ponto medido e soma as contribuições independentes em quadratura.

Por escrito, a incerteza-padrão combinada é a raiz quadrada da soma de cada derivada parcial vezes o erro-padrão correspondente, tudo ao quadrado. Em uma soma ou diferença as parciais valem mais um ou menos um, então a incerteza combinada é simplesmente a raiz da soma dos quadrados dos erros de entrada. Em um produto ou quociente a mesma identidade vira a conhecida combinação de erros relativos.

Em uma potência, uma raiz quadrada ou um logaritmo a parcial deixa de ser trivial, e por isso um motor de fórmulas geral é mais honesto do que um par de botões rígidos de produto e soma. Esta calculadora avalia a fórmula com diferenciação automática em modo direto, de forma que cada operador e cada função suportados contribuem com uma primeira derivada exata, e não com um chute por diferenças finitas que dependa de um passo oculto.

As entradas são tratadas como não correlacionadas: não há matriz de covariâncias, nem sorteio Monte Carlo, nem termo hessiano de segunda ordem. Esse é o modelo independente de primeira ordem dos livros, usado em laboratórios de graduação e na maioria das colunas de incerteza de um LIMS. Se algum erro-padrão resultar negativo, a solicitação é rejeitada, porque um erro-padrão é uma largura não negativa, não um resíduo com sinal.

Zero é permitido e significa que aquela entrada é tratada como exata. A resposta informa o resultado avaliado, a incerteza combinada, as incertezas relativa e percentual opcionais quando o resultado não é zero, e um detalhamento por variável das parciais e das contribuições à variância para você ver qual medição domina o orçamento.

Contrato de entrada, fórmulas aceitas e como os erros são informados

Pelo menos uma variável é exigida e a lista tem um teto para que um despejo colado de caderno não dispare. A sintaxe aceita inclui mais, menos, multiplicar, dividir, potência com circunflexo ou estrela dupla, parênteses e multiplicação implícita como dois pi r ou dois a. As constantes embutidas são pi e e.

As funções embutidas são sqrt, exp, ln, log (natural), log10, sin, cos, tan, abs, asin, acos, atan e pow, com argumentos trigonométricos em radianos. Uma checagem clássica de produto é a fórmula a vezes b com a igual a dois mais ou menos um décimo e b igual a três mais ou menos dois décimos: o resultado é seis e a incerteza combinada é exatamente um meio, porque as parciais valem três e dois.

Uma checagem de densidade m sobre v com massa dez mais ou menos um décimo e volume dois mais ou menos cinco centésimos produz cinco com incerteza combinada perto de cento e trinta e cinco milésimos.

Quando vale a pena propagar a incerteza

Laboratórios de graduação em física, química e engenharia pedem que estudantes citem um resultado derivado com uma incerteza combinada em vez de copiar só o valor central de uma calculadora. Plataformas de ensino e geradores de prova precisam de um oráculo determinístico que marque um erro-padrão negativo como inválido, em vez de tomar um valor absoluto e pontuar em silêncio uma planilha descuidada como correta.

Laboratórios analíticos e de calibração anexam uma incerteza de primeira ordem a fórmulas de densidade, resistência, vazão e rendimento dentro de um LIMS ou de tarefas de caderno, sem levantar um sistema de álgebra computacional. Equipes de qualidade e metrologia comparam qual entrada domina a contribuição à variância quando decidem se compram uma balança melhor ou um termômetro melhor. A validação com falha não consome saldo.