Produto de Kronecker
Duas matrizes 2×2 geram um produto de Kronecker 4×4 formado por cópias escaladas da segunda. Digite as duas matrizes linha por linha e receba A⊗B com o tamanho de cada fator, mesmo que os formatos não coincidam. Grátis no seu navegador.
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O produto tensorial de Kronecker de duas matrizes é a matriz em blocos que se obtém ao escalar o segundo fator inteiro por cada entrada do primeiro. Estudantes encontram essa construção em álgebra multilinear, informação quântica (operadores de dois qubits escritos como produtos de portas de um qubit), teoria dos grafos (produtos de Kronecker de matrizes de adjacência) e processamento discreto de sinais (filtros separáveis). Esta calculadora aceita duas matrizes retangulares como linhas de números finitos, monta o produto de Kronecker com um laço determinístico de quatro índices e devolve a matriz produto junto com as formas dos fatores.
O que é o produto tensorial de Kronecker — e o que não é
O produto de Kronecker é uma construção em blocos, não um produto interno linha-coluna. Escreva A como uma tabela m por n de números e B como uma tabela p por q. Essa definição não exige que as dimensões internas de A e B coincidam: uma matriz dois por três pode ser tensorizada com uma linha um por dois, ou uma coluna com uma quadrada, e o produto está sempre definido enquanto ambos os fatores forem retangulares e finitos.
Esse é o primeiro contraste com a multiplicação ordinária de matrizes, que fica indefinida a menos que as colunas de A sejam iguais às linhas de B. Também não é o produto de Hadamard, que multiplica entradas correspondentes e exige a mesma forma, nem as construções de Khatri–Rao ou da soma de Kronecker que aparecem em outros cantos da álgebra multilinear.
A ordem importa: A tensor B e B tensor A têm as mesmas entradas só depois de um rearranjo conhecido de linhas e colunas, e são iguais como matrizes apenas em casos especiais, por exemplo quando os dois fatores são um por um. Uma verificação clássica com inteiros é o par A igual a [[1, 2], [3, 4]] e B igual a [[0, 5], [6, 7]], cujo produto de Kronecker é a matriz quatro por quatro com primeira linha [0, 5, 0, 10] e última linha [18, 21, 24, 28].
Esta calculadora implementa exatamente essa regra de blocos do livro, arredonda cada entrada publicada na precisão pedida e recusa inventar um resultado quando uma célula falta, é irregular ou não é finita.
Onde o produto de Kronecker é usado
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora do produto tensorial de Kronecker para que o aluno confira uma construção em blocos sem expandir à mão cada cópia escalada de B e sem confundir a operação com o produto ordinário A vezes B. Geradores de prova precisam de um oráculo determinístico que marque uma célula não finita como erro em vez de devolver uma matriz com NaN, que um corretor defeituoso poderia tratar como quase acerto.
Scripts de processamento de sinais e imagem montam núcleos separáveis do mesmo jeito, e algoritmos de grafos que tomam o produto de Kronecker de matrizes de adjacência precisam de um caminho explícito e documentado para exemplos inteiros modestos. Validação falha não consome saldo. Mantenha os pedidos dentro do limite de entrada vinte por vinte e do teto de produto duzentos por duzentos, fixe o produto arredondado nos testes e você obtém matrizes de Kronecker reproduzíveis para lição de casa, plugins LMS e workers na borda sem montar infraestrutura simbólica própria.
Casos de uso
Gabaritos de lição de casa e provas
Monte A⊗B para matrizes inteiras de livro, confira a forma (m·p)×(n·q) e verifique cada bloco diante de uma cópia de B escalada à mão.
Quântica, grafos e núcleos separáveis
Componha operadores de dois qubits, grafos de Kronecker ou filtros separáveis quando os dois fatores couberem nos limites publicados de linhas e colunas.
Perguntas frequentes
Em que o produto tensorial de Kronecker difere da multiplicação ordinária de matrizes?
A multiplicação ordinária exige que as colunas de A sejam iguais às linhas de B e produz uma matriz m×p de produtos escalares linha-coluna. O produto de Kronecker A⊗B está sempre definido para A e B retangulares: ladrilha cópias escaladas de B e tem forma (m·p)×(n·q).
O que acontece se uma matriz contém Infinity ou NaN?
Toda entrada dos dois fatores precisa ser um número finito; valores não finitos não são cobrados e nunca aparecem em um produto.
A⊗B é igual a B⊗A?
Não em geral. Os dois produtos contêm os mesmos números depois de uma permutação conhecida de linhas e colunas, mas só são iguais como matrizes em casos especiais. Esta ferramenta calcula sempre A⊗B nessa ordem.
Quais tamanhos de matriz são suportados?
Cada fator pode ter até 20 linhas e 20 colunas. O produto é rejeitado se ultrapassar 200 linhas ou 200 colunas.
Os tamanhos das duas matrizes precisam coincidir no produto de Kronecker?
Não. Ao contrário da multiplicação comum, quaisquer duas matrizes retangulares podem ser combinadas: uma 2×3 funciona com uma linha 1×2. Se A tem m linhas e n colunas e B tem p e q, o resultado tem m·p linhas e n·q colunas.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/tensor-product \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[[1,2],[3,4]],"b":[[0,5],[6,7]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/tensor-product", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": [
[
1,
2
],
[
3,
4
]
],
"b": [
[
0,
5
],
[
6,
7
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/tensor-product",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
[
1,
2
],
[
3,
4
]
],
"b": [
[
0,
5
],
[
6,
7
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/tensor-product", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[[1,2],[3,4]],"b":[[0,5],[6,7]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[[1,2],[3,4]],"b":[[0,5],[6,7]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/tensor-product", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": [
[
1,
2
],
[
3,
4
]
],
"b": [
[
0,
5
],
[
6,
7
]
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.tensor_product",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_rows | 20 |
max_cols | 20 |
max_product_rows | 200 |
max_product_cols | 200 |
max_abs_entry | 1000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Se A é m por n e B é p por q, A tensor B é a matriz de (m vezes p) por (n vezes q) cujo bloco (i, j) é a_ij vezes B. Uma célula não finita é rejeitada com invalid_input em vez de virar NaN ou Infinity em silêncio. Sem rede, sem aleatoriedade e com um contrato que você pode fixar em testes a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida.
O que é o produto tensorial de Kronecker — e o que não é
Então A tensor B é a matriz alta e larga obtida ao substituir cada entrada a_ij de A pelo bloco escalado inteiro a_ij vezes B. O resultado tem, portanto, m vezes p linhas e n vezes q colunas, e a entrada na linha i vezes p mais r e na coluna j vezes q mais c é exatamente a_ij vezes b_rc.
Contrato de entrada, forma da resposta e falhas não finitas
O campo a é o fator esquerdo: um array não vazio de linhas, cada linha um array não vazio de números finitos, todas as linhas com o mesmo comprimento para a matriz ser retangular. O campo b é o fator direito na mesma forma por linhas. A precision opcional, entre zero e quinze casas decimais, arredonda cada entrada publicada do produto; o padrão é dez. Não há coerção silenciosa de null para zero nem broadcasting de um escalar para uma matriz. Validação falha não é cobrada. Envie por POST um corpo JSON com duas matrizes obrigatórias. Os aliases matrix_a, left e A para o primeiro fator e matrix_b, right e B para o segundo são aceitos para que planilhas, query strings e formulários tipados reutilizem o mesmo contrato. Cada célula pode chegar como número JSON ou como string numérica; strings vazias, objetos e tokens que não são finitos (Infinity, NaN ou uma string que não se interpreta como decimal finito) falham com invalid_input que nomeia o caminho do campo culpado, por exemplo a[1][0]. As entradas estão limitadas a vinte linhas e vinte colunas cada, e o produto é rejeitado se ultrapassar duzentas linhas ou duzentas colunas, de modo que um único pedido caiba em um isolate Worker mesmo que a forma de Kronecker multiplique as dimensões dos fatores. Em caso de sucesso o corpo devolve product como a matriz em blocos na mesma forma aninhada, os fatores ecoados a e b, os quatro números de forma rows_a, cols_a, rows_b e cols_b, as dimensões do produto, a precisão usada, uma string curta de fórmula que documenta a regra de quatro índices e os máximos de entrada publicados. Combine a resposta com a sua própria tipografia se precisar de colchetes de Kronecker ornamentados; este endpoint devolve apenas números JSON e não emite gráficos nem reescritas simbólicas.
Onde uma API de produto de Kronecker justifica o seu lugar
Cadernos de informação quântica escrevem operadores de dois qubits como produtos de Kronecker de matrizes de um qubit; uma API parse pequena deixa uma página de aula verificar X ⊗ I ou H ⊗ H sem puxar um sistema completo de álgebra computacional. Como a implementação é parse de nível A pura, cada chamada bem-sucedida custa o preço-base publicado US$ 0,002, sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Casos de integração
Fixtures determinísticas para CI
Gere produtos de Kronecker reproduzíveis para testes unitários sem manter à mão expansões de quatro índices nem checagens de não finitude.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora do produto tensorial?
A ferramenta no navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo KIT pré-pago a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.