Probabilidade de três eventos

A chance de ocorrer pelo menos um de três eventos nomeados não é a soma das probabilidades individuais. Somar as três cifras conta duas vezes cada sobreposição aos pares e depois deixa curto o recinto em que os três acontecem juntos. A inclusão-exclusão corrige isso: some os três individuais, subtraia as três interseções aos pares e some de volta a interseção tripla. Esta calculadora aceita essas sete probabilidades, verifica se cada uma está no intervalo unitário fechado e se as conjuntas respeitam limites elementares no estilo de Fréchet, e devolve a união P(A ∪ B ∪ C) junto com a probabilidade complementar de que nenhum dos três ocorra.

O que a inclusão-exclusão calcula para três eventos

Num espaço de probabilidade, a união dos eventos A, B e C é o conjunto de resultados que pertencem a pelo menos um deles. Somar às cegas P(A), P(B) e P(C) conta duas vezes cada resultado de uma interseção aos pares e três vezes cada resultado da interseção tripla, de modo que essa soma não é a probabilidade de uma união.

A identidade de inclusão-exclusão desfaz esse excesso em duas correções: primeiro subtraem-se as três conjuntas aos pares P(A ∩ B), P(A ∩ C) e P(B ∩ C), o que remove a cópia extra de cada sobreposição de dois conjuntos; depois soma-se de volta P(A ∩ B ∩ C), porque a região tripla foi somada três vezes e subtraída três vezes e, sem isso, sumiria.

A fórmula compacta é P(A ∪ B ∪ C) igual a P(A) mais P(B) mais P(C) menos P(A ∩ B) menos P(A ∩ C) menos P(B ∩ C) mais P(A ∩ B ∩ C). O evento complementar — nenhum dos três ocorre — tem probabilidade um menos essa união. A exclusividade mútua é o caso especial em que toda interseção vale zero e a união vira uma soma simples.

A independência é outro caso especial, em que cada conjunta se fatora como produto dos individuais correspondentes. Esta ferramenta não assume nenhum desses casos: usa as conjuntas que você envia, de modo que exemplos escolares dependentes e modos de falha sobrepostos saem corretos.

Quem precisa da união de três eventos

Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de probabilidade de três eventos para que o aluno confira tarefas de inclusão-exclusão sem inverter o sinal do termo triplo. Geradores de prova precisam de um oráculo determinístico que rejeite uma probabilidade de 1.2 em vez de recortá-la em silêncio, para que um corretor defeituoso não trate uma entrada impossível como um zero bem-sucedido.

Relatórios de confiabilidade e segurança costumam partir de três modos de falha sobrepostos — sensor A, sensor B e um alarme de causa comum C — e precisam de P(pelo menos um dispara) a partir de taxas calibradas e sobreposições aos pares medidas, não de uma independência que os dados contradizem. Equipes de analítica de produto convertem taxas publicadas (fatia de usuários que viram a campanha A, a B ou a C) numa união formal quando a ferramenta de relatórios já entrega células de sobreposição aos pares e tripla.

Validação falha não consome saldo. Não confunda esta página com uma ferramenta de probabilidade condicional que divide uma única conjunta por uma marginal, nem com um atualizador de Bayes que toma verossimilhanças: aqui você já conhece as sete massas e só precisa da união por inclusão-exclusão.