Abundanzindex-Rechner

Der Abundanzindex einer positiven ganzen Zahl n ist die exakte rationale Zahl I(n) = sigma(n) geteilt durch n, wobei sigma(n) die Summe aller positiven Teiler von n einschließlich Eins und n selbst ist. Zahlentheoretiker nutzen dieses Verhältnis, um n als defizient zu klassifizieren, wenn I(n) kleiner als zwei ist, als vollkommen, wenn I(n) gleich zwei ist, und als abundant, wenn I(n) zwei übersteigt, und sie vergleichen Indizes beim Studium freundlicher Zahlen, solitärer Zahlen und aliquoter Struktur. Dieser Abundanzindex-Rechner nimmt eine positive ganze Zahl n entgegen, berechnet sigma(n) aus der Primfaktorzerlegung, kürzt sigma(n)/n mit dem größten gemeinsamen Teiler und liefert den Bruch in niedrigsten Termen. Werte von n unter eins werden als ungültige Eingabe abgewiesen.

Was der Abundanzindex ist und warum der exakte Bruch zählt

Der Abundanzindex I(n) einer positiven ganzen Zahl n ist die rationale Zahl sigma(n) geteilt durch n, wobei sigma(n) die Summe aller positiven Teiler von n bezeichnet, einschließlich sowohl Eins als auch n. Die Definition ist klassisch: Euler nutzte das Verhältnis bereits beim Studium vollkommener Zahlen, und moderne Arbeiten schreiben I(n), wann immer sie vergleichen müssen, wie dicht die Teiler von n das Intervall bis n füllen. Weil sigma eine multiplikative Funktion ist, ist I es ebenfalls: sind a und b teilerfremd, so gilt I(ab) gleich I(a) mal I(b).

Diese Identität erklärt, warum eine Primzahl p den Index (p+1)/p hat, eine Primzahlpotenz p^k den Index (p^{k+1}−1)/((p−1)p^k), und ein quadratfreies Produkt verschiedener Primzahlen ein Produkt jener einfachen Brüche. Der Vergleich von I(n) mit der ganzen Zahl zwei ist genau die Trichotomie der vollkommenen Zahlen: I(n) kleiner als zwei bedeutet, n ist defizient, I(n) gleich zwei bedeutet, n ist vollkommen, und I(n) größer als zwei bedeutet, n ist abundant.

Zwölf ist die kleinste abundante ganze Zahl, weil sigma(12) achtundzwanzig ist, sodass I(12) achtundzwanzig durch zwölf beträgt, was sich auf sieben Drittel kürzt. Sechs ist die kleinste vollkommene ganze Zahl, weil sigma(6) zwölf ist und der gekürzte Index zwei durch eins. Zehn ist defizient, weil sigma(10) achtzehn ist und achtzehn durch zehn sich auf neun Fünftel kürzt, was strikt unter zwei liegt.

Den gekürzten Bruch zurückzugeben statt einer Gleitkommanäherung ist der eigentliche Zweck dieses Werkzeugs. Suchen nach freundlichen Zahlen fragen, ob I(a) als rationale Zahlen gleich I(b) ist, und eine Dezimalzahl wie 2.333 verbirgt, dass achtundzwanzig Zwölftel und sieben Drittel dieselbe Klasse sind. Eins hat den Index eins durch eins und ist defizient; dieser Randfall wird akzeptiert, nicht abgewiesen.

Eingabevertrag, exakter Algorithmus und die Antwort, die Sie erhalten

Intern zerlegt die Engine n durch Probedivision, indem sie zuerst gerade Zweierpotenzen und dann ungerade Probeprimzahlen bis zur Quadratwurzel des verbleibenden Kofaktors durchläuft. Für jede Primzahlpotenz p^a multipliziert sie die ganzzahlige geometrische Reihe eins plus p plus p zum Quadrat bis p^a, um sigma(n) aufzusummieren. Anschließend berechnet sie g gleich dem größten gemeinsamen Teiler von sigma(n) und n mit dem euklidischen Algorithmus und liefert numerator gleich sigma(n) geteilt durch g und denominator gleich n geteilt durch g, zusammen mit der Anzeigezeichenkette numerator Schrägstrich denominator.

Die Antwort gibt außerdem n, die ganze Zahl sigma und eine kind-Kennzeichnung zurück, die deficient, perfect oder abundant lautet, je nachdem, ob sigma kleiner, gleich oder größer als das Doppelte von n ist. Die gesamte Arithmetik bleibt in exakten ganzen Zahlen; es gibt kein Date, keine Zufallsziehung und keinen Netzaufruf. Koppeln Sie diese Seite nur dann mit einem Teilersummen-Werkzeug, wenn Sie sigma(n) allein brauchen.

Wo ein Abundanzindex-Rechner seinen Nutzen erweist

Schülerinnen und Schüler begegnen dem Abundanzindex, wenn ein Lehrbuch erstmals defiziente, vollkommene und abundante Zahlen definiert, weil der Vergleich von I(n) mit zwei leichter zu merken ist als der gleichwertige Test an sigma(n) und dem Doppelten von n. Wettbewerbsautoren und Autoren von Lernmanagementsystemen brauchen ein Orakel, das den exakten gekürzten Bruch liefert, damit eine Bewertung sieben Drittel und achtundzwanzig Zwölftel nach dem Kürzen als dieselbe Antwort akzeptiert und damit eine Lernende, die eine gerundete Dezimalzahl schreibt, als unvollständig statt als glücklich markiert wird.

Forschende, die freundliche Zahlen, solitäre Zahlen oder ganze Zahlen mit vorgeschriebener Abundanz suchen, benötigen exakte rationale Gleichheit, nicht ein Gleitkomma-Epsilon, das still 7/3 mit einem nahen Hochstapler gleichsetzt. Unterrichtshefte können I(n) gegen n für die ersten paar hundert ganzen Zahlen tabellieren, ohne ein Computeralgebrasystem zu installieren. Skriptautorinnen und -autoren, die aliquote Folgen durchlaufen, protokollieren den Index oft neben der aliquoten Summe, damit ein Ausschlag über zwei sichtbar ist, bevor die Folge divergiert.

Koppeln Sie diesen Endpunkt mit einem Teilersummen-Werkzeug, wenn Sie nur sigma(n) brauchen, mit einem Prüfer für abundante Zahlen, wenn Sie nur das Boolesche und den Überschussbetrag brauchen, und mit einem Rechner der aliquoten Summe, wenn Sie echte Teiler ohne n wollen. Diese Seite beantwortet die Indexfrage: die exakte rationale Zahl sigma(n) über n in niedrigsten Termen, abgewiesen nur, wenn n unter eins liegt.