Calculadora de índice de abundância

O índice de abundância de um inteiro positivo n é o racional exato I(n) = sigma(n) dividido por n, em que sigma(n) é a soma de todos os divisores positivos de n, incluindo um e o próprio n. Teóricos dos números usam essa razão para classificar n como deficiente quando I(n) é menor que dois, perfeito quando I(n) vale dois, e abundante quando I(n) ultrapassa dois, e comparam índices ao estudar números amigáveis, números solitários e a estrutura alíquota. Esta calculadora de índice de abundância aceita um inteiro positivo n, calcula sigma(n) a partir da fatoração prima, reduz sigma(n)/n pelo máximo divisor comum e devolve a fração nos menores termos. Valores de n abaixo de um são rejeitados como entrada inválida.

O que é o índice de abundância e por que a fração exata importa

O índice de abundância I(n) de um inteiro positivo n é o número racional sigma(n) dividido por n, em que sigma(n) designa a soma de todos os divisores positivos de n, incluindo tanto um quanto n. A definição é clássica: Euler já usava a razão ao estudar números perfeitos, e artigos modernos escrevem I(n) sempre que precisam comparar com que densidade os divisores de n preenchem o intervalo até n.

Como sigma é uma função multiplicativa, I também o é: se a e b são coprimos, então I(ab) é igual a I(a) vezes I(b). Essa identidade explica por que um primo p tem índice (p+1)/p, uma potência prima p^k tem índice (p^{k+1}−1)/((p−1)p^k), e um produto livre de quadrados de primos distintos tem um produto dessas frações simples.

Comparar I(n) com o inteiro dois é exatamente a tricotomia dos números perfeitos: I(n) menor que dois significa que n é deficiente, I(n) igual a dois significa que n é perfeito, e I(n) maior que dois significa que n é abundante. Doze é o menor inteiro abundante porque sigma(12) é vinte e oito, de modo que I(12) vale vinte e oito sobre doze, que se reduz a sete terços. Seis é o menor inteiro perfeito porque sigma(6) é doze e o índice reduzido é dois sobre um.

Dez é deficiente porque sigma(10) é dezoito e dezoito sobre dez se reduz a nove quintos, que fica estritamente abaixo de dois. Devolver a fração reduzida, e não uma aproximação em ponto flutuante, é o propósito desta ferramenta. Buscas de números amigáveis perguntam se I(a) é igual a I(b) como racionais, e um decimal como 2.333 esconde que vinte e oito doze avos e sete terços são a mesma classe.

Um tem índice um sobre um e é deficiente; esse caso-limite é aceito, não rejeitado.

Contrato de entrada, algoritmo exato e a resposta que você recebe

Internamente, o mecanismo fatore n por divisão por tentativa, percorrendo primeiro as potências pares de dois e depois primos de teste ímpares até a raiz quadrada do cofator restante. Para cada potência prima p^a ele multiplica a série geométrica inteira um mais p mais p ao quadrado até p^a para acumular sigma(n).

Em seguida calcula g igual ao máximo divisor comum de sigma(n) e n com o algoritmo de Euclides e devolve numerator igual a sigma(n) dividido por g e denominator igual a n dividido por g, junto com a cadeia de exibição numerator barra denominator. A resposta também devolve n, o inteiro sigma e um rótulo kind que é deficient, perfect ou abundant conforme sigma seja menor, igual ou maior que o dobro de n.

Toda a aritmética permanece em inteiros exatos; não há Date, nem sorteio aleatório, nem chamada de rede. Combine esta página com uma ferramenta de soma de divisores apenas quando você quiser sigma(n) sozinho.

Onde uma calculadora de índice de abundância se justifica

Os estudantes encontram o índice de abundância quando um livro didático define pela primeira vez números deficientes, perfeitos e abundantes, porque comparar I(n) com dois é mais fácil de lembrar do que o teste equivalente sobre sigma(n) e o dobro de n.

Autores de concursos e de sistemas de gestão da aprendizagem precisam de um oráculo que devolva a fração exata reduzida para que um corretor aceite sete terços e vinte e oito doze avos como a mesma resposta após a redução, e para que um aluno que escreva um decimal arredondado seja marcado incompleto em vez de sortudo. Pesquisadores que caçam números amigáveis, números solitários ou inteiros com uma abundância prescrita exigem igualdade racional exata, não um épsilon flutuante que identifique em silêncio 7/3 com um impostor próximo.

Cadernos de aula podem tabular I(n) contra n para os primeiros centenas de inteiros sem instalar um sistema de álgebra computacional. Autores de scripts que percorrem sequências alíquotas costumam registrar o índice ao lado da soma alíquota para que um pico acima de dois fique visível antes de a sequência divergir. Esta página responde à pergunta do índice: o racional exato sigma(n) sobre n nos menores termos, rejeitado somente quando n está abaixo de um.