Calculatrice d'indice d'abondance

L'indice d'abondance d'un entier positif n est le rationnel exact I(n) = sigma(n) divisé par n, où sigma(n) est la somme de tous les diviseurs positifs de n, y compris un et n lui-même. Les théoriciens des nombres utilisent ce rapport pour classer n comme déficient lorsque I(n) est inférieur à deux, parfait lorsque I(n) vaut deux, et abondant lorsque I(n) dépasse deux, et ils comparent les indices lorsqu'ils étudient les nombres amicaux, les nombres solitaires et la structure aliquote. Cette calculatrice d'indice d'abondance accepte un entier positif n, calcule sigma(n) à partir de la factorisation première, réduit sigma(n)/n par leur plus grand commun diviseur, et renvoie la fraction sous forme irréductible. Les valeurs de n inférieures à un sont rejetées comme entrée invalide.

Ce qu'est l'indice d'abondance et pourquoi la fraction exacte compte

L'indice d'abondance I(n) d'un entier positif n est le nombre rationnel sigma(n) divisé par n, où sigma(n) désigne la somme de tous les diviseurs positifs de n, y compris à la fois un et n. La définition est classique : Euler utilisait déjà le rapport pour étudier les nombres parfaits, et les articles modernes écrivent I(n) dès qu'ils doivent comparer à quel point les diviseurs de n remplissent l'intervalle jusqu'à n.

Comme sigma est une fonction multiplicative, I l'est aussi : si a et b sont premiers entre eux, alors I(ab) est égal à I(a) fois I(b). Cette identité explique pourquoi un premier p a pour indice (p+1)/p, une puissance première p^k a pour indice (p^{k+1}−1)/((p−1)p^k), et un produit sans carré de premiers distincts a un produit de ces fractions simples.

Comparer I(n) à l'entier deux est exactement la trichotomie des nombres parfaits : I(n) inférieur à deux signifie que n est déficient, I(n) égal à deux signifie que n est parfait, et I(n) supérieur à deux signifie que n est abondant. Douze est le plus petit entier abondant parce que sigma(12) vaut vingt-huit, donc I(12) vaut vingt-huit sur douze, qui se réduit à sept tiers. Six est le plus petit entier parfait parce que sigma(6) vaut douze et l'indice réduit est deux sur un.

Dix est déficient parce que sigma(10) vaut dix-huit et dix-huit sur dix se réduit à neuf cinquièmes, strictement au-dessous de deux. Renvoyer la fraction réduite, et non une approximation flottante, est tout l'enjeu de cet outil. Les recherches de nombres amicaux demandent si I(a) est égal à I(b) en tant que rationnels, et un décimal tel que 2.333 dissimule que vingt-huit douzièmes et sept tiers sont la même classe.

Un a pour indice un sur un et est déficient ; ce cas limite est accepté, non rejeté.

Contrat d'entrée, algorithme exact et la réponse que vous obtenez

En interne, le moteur factorise n par division d'essai, en parcourant d'abord les puissances paires de deux puis des premiers d'essai impairs jusqu'à la racine carrée du cofacteur restant. Pour chaque puissance première p^a il multiplie la série géométrique entière un plus p plus p au carré jusqu'à p^a afin d'accumuler sigma(n).

Il calcule ensuite g égal au plus grand commun diviseur de sigma(n) et de n avec l'algorithme d'Euclide et renvoie numerator égal à sigma(n) divisé par g et denominator égal à n divisé par g, avec la chaîne d'affichage numerator barre denominator. La réponse renvoie aussi n, l'entier sigma, et une étiquette kind qui vaut deficient, perfect ou abundant selon que sigma est inférieur, égal ou supérieur au double de n. Toute l'arithmétique reste en entiers exacts ; il n'y a ni Date, ni tirage aléatoire, ni appel réseau.

Associez cette page à un outil de somme des diviseurs seulement lorsque vous voulez sigma(n) seul.

Où une calculatrice d'indice d'abondance gagne sa place

Les élèves rencontrent l'indice d'abondance lorsqu'un manuel définit pour la première fois les nombres déficients, parfaits et abondants, parce que comparer I(n) à deux est plus facile à retenir que le test équivalent sur sigma(n) et le double de n. Les auteurs de concours et de systèmes de gestion de l'apprentissage ont besoin d'un oracle qui renvoie la fraction exacte réduite afin qu'un correcteur accepte sept tiers et vingt-huit douzièmes comme la même réponse après réduction, et qu'un apprenant qui écrit un décimal arrondi soit marqué incomplet plutôt que chanceux.

Les chercheurs qui chassent les nombres amicaux, les nombres solitaires ou des entiers d'abondance prescrite exigent une égalité rationnelle exacte, non un epsilon flottant qui identifierait en silence 7/3 avec un imposteur voisin. Les carnets de classe peuvent tabuler I(n) contre n pour les quelques centaines premiers entiers sans installer un système de calcul formel. Les auteurs de scripts qui parcourent des suites aliquotes consignent souvent l'indice à côté de la somme aliquote pour qu'un pic au-dessus de deux soit visible avant que la suite ne diverge.

Associez ce point de terminaison à un outil de somme des diviseurs lorsque vous n'avez besoin que de sigma(n), à un vérificateur de nombre abondant lorsque vous n'avez besoin que du booléen et du montant d'abondance, et à une calculatrice de somme aliquote lorsque vous voulez les diviseurs propres hors n. Cette page répond à la question de l'indice : le rationnel exact sigma(n) sur n sous forme irréductible, rejeté seulement lorsque n est inférieur à un.