Calcolatore indice di abbondanza

L'indice di abbondanza di un intero positivo n è il razionale esatto I(n) = sigma(n) diviso per n, dove sigma(n) è la somma di tutti i divisori positivi di n, compreso uno e n stesso. I teorici dei numeri usano questo rapporto per classificare n come difettivo quando I(n) è minore di due, perfetto quando I(n) vale due, e abbondante quando I(n) supera due, e confrontano gli indici nello studio dei numeri amichevoli, dei numeri solitari e della struttura aliquota. Questo calcolatore dell'indice di abbondanza accetta un intero positivo n, calcola sigma(n) dalla fattorizzazione prima, riduce sigma(n)/n mediante il massimo comun divisore e restituisce la frazione ai minimi termini. I valori di n inferiori a uno vengono rifiutati come input non valido.

Che cosa è l'indice di abbondanza e perché conta la frazione esatta

L'indice di abbondanza I(n) di un intero positivo n è il numero razionale sigma(n) diviso per n, dove sigma(n) denota la somma di tutti i divisori positivi di n, inclusi sia uno sia n. La definizione è classica: Eulero usava già il rapporto nello studio dei numeri perfetti, e gli articoli moderni scrivono I(n) ogni volta che devono confrontare quanto densamente i divisori di n riempiano l'intervallo fino a n.

Poiché sigma è una funzione moltiplicativa, lo è anche I: se a e b sono coprimi allora I(ab) è uguale a I(a) per I(b). Quell'identità spiega perché un primo p ha indice (p+1)/p, una potenza prima p^k ha indice (p^{k+1}−1)/((p−1)p^k), e un prodotto libero da quadrati di primi distinti ha un prodotto di quelle frazioni semplici.

Confrontare I(n) con l'intero due è esattamente la tricotomia dei numeri perfetti: I(n) minore di due significa che n è difettivo, I(n) uguale a due significa che n è perfetto, e I(n) maggiore di due significa che n è abbondante. Dodici è il più piccolo intero abbondante perché sigma(12) vale ventotto, quindi I(12) vale ventotto su dodici, che si riduce a sette terzi. Sei è il più piccolo intero perfetto perché sigma(6) vale dodici e l'indice ridotto è due su uno.

Dieci è difettivo perché sigma(10) vale diciotto e diciotto su dieci si riduce a nove quinti, strettamente al di sotto di due. Restituire la frazione ridotta, non un'approssimazione in virgola mobile, è lo scopo di questo strumento. Le ricerche di numeri amichevoli chiedono se I(a) sia uguale a I(b) come razionali, e un decimale come 2.333 nasconde che ventotto dodicesimi e sette terzi sono la stessa classe.

Uno ha indice uno su uno ed è difettivo; quel caso limite viene accettato, non rifiutato.

Contratto di ingresso, algoritmo esatto e la risposta che si ottiene

Internamente il motore fattorizza n per divisione per tentativi, percorrendo prima le potenze pari di due e poi primi di prova dispari fino alla radice quadrata del cofattore restante. Per ogni potenza prima p^a moltiplica la serie geometrica intera uno più p più p al quadrato fino a p^a per accumulare sigma(n).

Calcola quindi g uguale al massimo comun divisore di sigma(n) e n con l'algoritmo di Euclide e restituisce numerator uguale a sigma(n) diviso per g e denominator uguale a n diviso per g, insieme alla stringa di visualizzazione numerator barra denominator. La risposta restituisce anche n, l'intero sigma e un'etichetta kind che vale deficient, perfect o abundant a seconda che sigma sia minore, uguale o maggiore del doppio di n. Tutta l'aritmetica resta negli interi esatti; non c'è Date, né estrazione casuale, né chiamata di rete.

Si abbini questa pagina a uno strumento di somma dei divisori solo quando si desidera sigma(n) da solo.

Dove un calcolatore dell'indice di abbondanza merita il proprio posto

Gli studenti incontrano l'indice di abbondanza quando un libro di testo definisce per la prima volta i numeri difettivi, perfetti e abbondanti, perché confrontare I(n) con due è più facile da ricordare del test equivalente su sigma(n) e il doppio di n.

Gli autori di gare e di sistemi di gestione dell'apprendimento hanno bisogno di un oracolo che restituisca la frazione esatta ridotta così un correttore può accettare sette terzi e ventotto dodicesimi come la stessa risposta dopo la riduzione, e così un allievo che scrive un decimale arrotondato venga segnato incompleto anziché fortunato. I ricercatori che cercano numeri amichevoli, numeri solitari o interi con un'abbondanza prescritta richiedono uguaglianza razionale esatta, non un epsilon in virgola mobile che identifichi in silenzio 7/3 con un impostore vicino.

I quaderni di classe possono tabulizzare I(n) rispetto a n per i primi poche centinaia di interi senza installare un sistema di algebra computazionale. Gli autori di script che percorrono successioni aliquotie spesso registrano l'indice accanto alla somma aliquota così un picco sopra due è visibile prima che la successione diverga. Questa pagina risponde alla domanda sull'indice: il razionale esatto sigma(n) su n ai minimi termini, rifiutato solo quando n è inferiore a uno.