Calculadora de índice de abundancia

El índice de abundancia de un entero positivo n es el racional exacto I(n) = sigma(n) dividido entre n, donde sigma(n) es la suma de todos los divisores positivos de n, incluidos el uno y n mismo. Los teóricos de números usan esta razón para clasificar n como deficiente cuando I(n) es menor que dos, perfecto cuando I(n) vale dos, y abundante cuando I(n) supera dos, y comparan índices al estudiar números amigables, números solitarios y la estructura alícuota. Esta calculadora de índice de abundancia acepta un entero positivo n, calcula sigma(n) a partir de la factorización prima, reduce sigma(n)/n por su máximo común divisor y devuelve la fracción en términos mínimos. Los valores de n inferiores a uno se rechazan como entrada no válida.

Qué es el índice de abundancia y por qué importa la fracción exacta

El índice de abundancia I(n) de un entero positivo n es el número racional sigma(n) dividido entre n, donde sigma(n) designa la suma de todos los divisores positivos de n, incluidos tanto el uno como n. La definición es clásica: Euler ya usaba la razón al estudiar los números perfectos, y los artículos modernos escriben I(n) siempre que necesitan comparar con qué densidad los divisores de n llenan el intervalo hasta n.

Como sigma es una función multiplicativa, I también lo es: si a y b son coprimos, entonces I(ab) es igual a I(a) por I(b). Esa identidad explica por qué un primo p tiene índice (p+1)/p, una potencia prima p^k tiene índice (p^{k+1}−1)/((p−1)p^k), y un producto libre de cuadrados de primos distintos tiene un producto de esas fracciones simples.

Comparar I(n) con el entero dos es exactamente la tricotomía de los números perfectos: I(n) menor que dos significa que n es deficiente, I(n) igual a dos significa que n es perfecto, e I(n) mayor que dos significa que n es abundante. Doce es el menor entero abundante porque sigma(12) es veintiocho, de modo que I(12) vale veintiocho entre doce, que se reduce a siete tercios. Seis es el menor entero perfecto porque sigma(6) es doce y el índice reducido es dos sobre uno.

Diez es deficiente porque sigma(10) es dieciocho y dieciocho entre diez se reduce a nueve quintos, que queda estrictamente por debajo de dos. Devolver la fracción reducida, no una aproximación flotante, es el propósito de esta herramienta. Las búsquedas de números amigables preguntan si I(a) es igual a I(b) como racionales, y un decimal como 2.333 oculta que veintiocho doceavos y siete tercios son la misma clase.

El uno tiene índice uno sobre uno y es deficiente; ese caso límite se acepta, no se rechaza.

Contrato de entrada, algoritmo exacto y la respuesta que recibe

En el interior, el motor factoriza n por división de prueba, recorriendo primero las potencias pares de dos y después primos de prueba impares hasta la raíz cuadrada del cofactor restante. Por cada potencia prima p^a multiplica la serie geométrica entera uno más p más p al cuadrado hasta p^a para acumular sigma(n).

Luego calcula g igual al máximo común divisor de sigma(n) y n con el algoritmo de Euclides y devuelve numerator igual a sigma(n) dividido entre g y denominator igual a n dividido entre g, junto con la cadena de visualización numerator barra denominator. La respuesta también devuelve n, el entero sigma y una etiqueta kind que es deficient, perfect o abundant según si sigma es menor, igual o mayor que el doble de n.

Toda la aritmética permanece en enteros exactos; no hay Date, ni sorteo aleatorio, ni llamada de red. Combine esta página con una herramienta de suma de divisores solo cuando desee sigma(n) por sí solo.

Dónde resulta útil una calculadora de índice de abundancia

Los estudiantes encuentran el índice de abundancia cuando un libro de texto define por primera vez los números deficientes, perfectos y abundantes, porque comparar I(n) con dos es más fácil de recordar que la prueba equivalente sobre sigma(n) y el doble de n.

Los autores de concursos y de sistemas de gestión del aprendizaje necesitan un oráculo que devuelva la fracción exacta reducida para que un corrector acepte siete tercios y veintiocho doceavos como la misma respuesta tras la reducción, y para que un alumno que escriba un decimal redondeado se marque incompleto en lugar de afortunado. Los investigadores que buscan números amigables, números solitarios o enteros con una abundancia prescrita requieren igualdad racional exacta, no un épsilon flotante que identifique en silencio 7/3 con un impostor cercano.

Los cuadernos de aula pueden tabular I(n) frente a n para los primeros cientos de enteros sin instalar un sistema de álgebra computacional. Los autores de scripts que recorren sucesiones alícuotas suelen registrar el índice junto a la suma alícuota para que un pico por encima de dos sea visible antes de que la sucesión diverja.

Combine este extremo con una herramienta de suma de divisores cuando solo necesite sigma(n), con un comprobador de números abundantes cuando solo necesite el booleano y la cantidad de abundancia, y con una calculadora de suma alícuota cuando quiera los divisores propios excluyendo n. Esta página responde a la pregunta del índice: el racional exacto sigma(n) sobre n en términos mínimos, rechazado solo cuando n es inferior a uno.