Wurzeln dividieren

Eine Wurzel durch eine andere zu teilen ist die Quotientenregel für Wurzeln: Die n-te Wurzel von a über der m-ten Wurzel von b wird mit einem gemeinsamen Index umgeschrieben, durch Herausziehen vollständiger Potenzen vereinfacht und anschließend rationalisiert, sodass im Nenner keine Wurzel bleibt. Dieser Rechner zum Dividieren von Wurzeln nimmt Radikand und Wurzelexponent von Dividend und Divisor entgegen, wendet die Identität an, nach der die n-te Wurzel von a geteilt durch die m-te Wurzel von b gleich der L-ten Wurzel von a hoch L durch n über b hoch L durch m ist, wobei L das kleinste gemeinsame Vielfache beider Indizes ist, zieht jede vollständige L-te Potenz als rationalen Koeffizienten heraus und multipliziert Zähler und Nenner mit der Restwurzel, die den Nenner räumt. Die Antwort ist das vereinfachte coefficient, index und radicand, dazu eine Anzeigezeichenkette und ein numerischer Quotient, den Sie in Tests festhalten können. Ein Index, der keine positive ganze Zahl ist, wird ebenso abgelehnt.

Was der Quotient zweier Wurzeln bedeutet und wie er rationalisiert wird

Ein Radikal ⁿ√a ist die reelle n-te Hauptwurzel des Radikanden a, sofern a nichtnegativ und n eine positive ganze Zahl ist. Eine solche Wurzel durch eine andere zu teilen ist die Quotientenregel für Radikale. Stimmen die Indizes bereits überein, gilt ⁿ√a geteilt durch ⁿ√b gleich ⁿ√(a/b); anschließend vereinfachen Sie die entstehende Wurzel, und würde eine Wurzel unter einem Nenner bleiben, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit einer Restwurzel, die diesen Nenner räumt.

Unterscheiden sich die Indizes, schreiben Sie beide Faktoren mit L gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von n und m um: ⁿ√a wird zu ᴸ√(a hoch L durch n) und ᵐ√b zu ᴸ√(b hoch L durch m), der Quotient ist also die L-te Wurzel von a zu jener ersten Potenz über b zur zweiten. Vereinfachen heißt dann, jede vollständige L-te Potenz als rationalen Koeffizienten herauszuziehen und im Zähler einen L-potenzfreien Radikanden zu belassen.

Rationalisieren ist der zusätzliche Schritt, den ein Produkt von Wurzeln nicht braucht: Restliche Primexponenten, die im Nenner säßen, werden durch Multiplikation mit der komplementären Potenz in den Zähler gehoben, sodass ein Lehrbuchergebnis wie die Quadratwurzel aus acht über der Quadratwurzel aus drei zu zwei mal der Quadratwurzel aus sechs, alles über drei, wird — niemals eine unreduzierte Wurzel unter einem Bruchstrich.

Ist der verbleibende Radikand eins, ist der Quotient bereits rational und der Rechner liefert index eins mit radicand eins, sodass Mandanten einen bereits vereinfachten Wert wie zwei als bloßen coefficient behandeln können. Null als Dividend ist ein zulässiger Nullquotient; Null als Divisor ist undefiniert und wird abgelehnt, statt Infinity zurückzugeben.

Wo das Teilen von Wurzeln vorkommt

Klassenzimmer und Nachhilfeplattformen nutzen einen Rechner zum Dividieren von Wurzeln, damit Lernende die Quotientenregel und die Rationalisierung einer Restwurzel prüfen, ohne beim Umschreiben der Quadratwurzel aus acht über der Quadratwurzel aus drei einen Faktor zwei zu verlieren. Klausur-Generatoren brauchen ein deterministisches Orakel, das einen negativen Radikanden oder einen nicht ganzen Index als ungültig kennzeichnet, statt still ein NaN zurückzugeben, das ein fehlerhafter Bewerter als Erfolg werten könnte.

Wissenschafts- und Ingenieurhefte reduzieren oft geschachtelte Wurzeln, die nach dem Teilen charakteristischer Längen, Impedanzen oder Wellenamplituden auftreten; ein kleiner Parse-Endpunkt erspart ein vollständiges Computeralgebrasystem für zwei Indizes und zwei Radikanden. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Derselbe Vertrag deckt auch gemischte Indizes wie eine Kubikwurzel über einer Quadratwurzel ab, die Umschreibung auf den gemeinsamen Index und die Rationalisierung in einem Zug erledigen.