Théorèmes du cercle
Saisissez un angle et choisissez le théorème : un angle au centre de 80 degrés donne un angle inscrit de 40 sur le même arc. L'outil traite aussi le quadrilatère inscriptible, le demi-cercle, les tangentes et le segment alterne. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Valeur
- 80
- Théorème
- Inscribed angle
- Résultat (degrés)
- 40
Les théorèmes du cercle relient angles et arcs : un angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc, les angles opposés d'un quadrilatère inscriptible totalisent 180 degrés, un angle inscrit dans un demi-cercle vaut toujours 90 degrés, et l'angle entre une tangente et une corde égale l'angle du segment alterne.
Angles inscrits et angles au centre
Le théorème du cercle le plus utilisé relie deux façons de regarder le même arc. Un angle au centre a son sommet au centre du cercle et sa mesure égale l'arc qu'il intercepte. Un angle inscrit a son sommet sur la circonférence et intercepte le même arc ; le théorème affirme qu'il vaut exactement la moitié de l'angle au centre.
Ainsi, si un angle au centre de 80 degrés sous-tend un arc, tout angle inscrit sous-tendant ce même arc mesure 40 degrés — peu importe où se trouve le sommet sur le reste de la circonférence. Cette paire couvre la majorité des exercices et des problèmes d'examen, et c'est aussi ce qu'il vous faut pour reconstruire des arcs à partir d'angles mesurés en topographie, en esquisses CAD et en schémas d'astronomie. Comme la relation est un facteur deux exact, le résultat est renvoyé avec six décimales, sans surprise d'arrondi.
Angles dans un demi-cercle et quadrilatères inscriptibles
Deux corollaires classiques découlent directement du théorème de l'angle inscrit. Le théorème de Thalès affirme que tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit : l'arc étant la moitié du cercle, l'angle au centre vaut 180 degrés et l'angle inscrit exactement 90. Voilà pourquoi un triangle tracé depuis les deux extrémités d'un diamètre vers n'importe quel troisième point du cercle est toujours rectangle.
Le théorème du quadrilatère inscriptible indique que lorsque les quatre sommets d'un quadrilatère sont sur un cercle, chaque paire d'angles opposés est supplémentaire — leur somme vaut 180 degrés. Avec un angle de 110 degrés, l'angle opposé vaut forcément 70. Ces deux résultats semblent des coïncidences jusqu'à ce que l'on comprenne qu'il s'agit de la même règle de moitié appliquée à des arcs formant ensemble un cercle entier.
Tangentes, cordes et segment alterne
Les tangentes ajoutent deux règles supplémentaires qui reviennent constamment dans les problèmes. Deuxièmement, le théorème du segment alterne affirme que l'angle entre une tangente et une corde passant par le point de contact égale l'angle inscrit dans le segment alterne, la partie du cercle de l'autre côté de la corde. Avec un angle inscrit de 55 degrés dans le segment alterne, l'angle entre tangente et corde vaut aussi 55 degrés.
Ces règles permettent de faire passer l'information à travers la frontière du cercle, des droites extérieures vers les angles intérieurs et inversement.
Cas d’usage
Résoudre des devoirs de géométrie
À partir d'un angle au centre de 80 degrés, obtenez instantanément l'angle inscrit de 40 degrés, avec la règle énoncée pour justifier votre raisonnement.
Vérifier un dessin CAD ou technique
Vérifiez qu'un angle inscrit dans un demi-cercle vaut exactement 90 degrés, ou qu'une tangente rencontre le rayon à angle droit.
Compléter un quadrilatère inscriptible
À partir d'un angle connu, calculez l'angle opposé supplémentaire pour confirmer que les quatre sommets sont bien sur un cercle.
Questions fréquentes
Combien cela coûte-t-il ?
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Quelles unités sont utilisées ?
Les degrés. La valeur saisie doit être un nombre fini non négatif et le résultat est renvoyé en degrés, arrondi à six décimales.
Le calcul est-il déterministe ?
Oui. C'est de l'arithmétique pure, sans aléatoire, sans horloge et sans accès réseau, donc la même entrée donne toujours le même résultat.
Comment trouver l'angle opposé d'un quadrilatère inscriptible ?
Soustrayez l'angle connu de 180 degrés. Quand les quatre sommets sont sur un cercle, les angles opposés totalisent 180, donc un angle de 110 degrés fait face à un angle de 70.
Que dit le théorème de l'angle tangente-corde ?
L'angle entre une tangente et une corde au point de contact est égal à l'angle inscrit situé de l'autre côté de la corde. Si cet angle inscrit mesure 55 degrés, l'angle tangente-corde mesure aussi 55.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"theorem":"inscribed_angle","value":80}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"theorem":"inscribed_angle","value":80}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"theorem":"inscribed_angle","value":80}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"theorem": "inscribed_angle",
"value": 80
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.circle_theorems",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Cette API prend le nom d'un théorème et une mesure d'angle ou d'arc donnée en degrés, puis renvoie l'angle demandé en un seul appel déterministe — le même calcul que sur papier, effectué exactement et instantanément, sans logiciel de géométrie ni tâtonnement sur la règle à appliquer.
Angles inscrits et angles au centre
Le calculateur de théorèmes du cercle fonctionne dans les deux sens : choisissez inscribed_angle avec un angle au centre ou une mesure d'arc pour obtenir l'angle inscrit, ou choisissez central_angle avec un angle inscrit pour retrouver l'angle au centre et l'arc.
Angles dans un demi-cercle et quadrilatères inscriptibles
Sélectionnez angle_in_semicircle ou cyclic_quadrilateral et le point de terminaison applique la règle pour vous, ce qui est pratique pour vérifier une construction, valider que quatre points sont cocycliques ou trouver le sommet manquant d'un quadrilatère inscrit.
Tangentes, cordes et segment alterne
Premièrement, une tangente est perpendiculaire au rayon mené au point de tangence, donc le théorème tangent_radius renvoie toujours 90 degrés — un fait utilisé pour localiser les centres et tracer des perpendiculaires en dessin technique. L'API accepte la mesure donnée comme un nombre fini non négatif en degrés et répond de façon déterministe, donc la même requête produit toujours le même résultat — gratuitement dans votre navigateur, ou via l'API à $0.002 par appel lorsque vous l'automatisez.
Questions techniques
Quels théorèmes sont pris en charge ?
Six : inscribed_angle, central_angle, angle_in_semicircle, cyclic_quadrilateral, tangent_chord et tangent_radius.
Pourquoi angle_in_semicircle et tangent_radius exigent-ils quand même une valeur ?
Ils renvoient toujours 90 degrés, mais le schéma d'entrée exige un nombre non négatif valide afin que les requêtes mal formées soient rejetées de façon cohérente.
Que se passe-t-il avec une entrée invalide ?
La requête est rejetée avec une erreur invalid_input — par exemple si la valeur est négative, n'est pas un nombre ou si le nom du théorème est inconnu — et rien ne vous est facturé.