Kreistheoreme-Rechner
Geben Sie einen Winkel ein und wählen Sie den Satz: Ein Zentriwinkel von 80 Grad ergibt einen Peripheriewinkel von 40 über demselben Bogen. Auch Sehnenvierecke, der Halbkreis, Tangenten und der Gegenbogen sind abgedeckt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Wert
- 80
- Satz
- Inscribed angle
- Ergebnis (Grad)
- 40
Die Kreissätze verbinden Winkel und Bögen im Kreis: Ein Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Zentriwinkel über demselben Bogen, gegenüberliegende Winkel eines Sehnenvierecks ergänzen sich auf 180 Grad, ein Winkel im Halbkreis beträgt stets 90, und der Winkel zwischen Tangente und Sehne ist gleich dem Winkel im Gegenbogen.
Peripherie- und Zentriwinkel
Der am häufigsten genutzte Kreissatz verknüpft zwei Blickweisen auf denselben Bogen. Ein Zentriwinkel hat seinen Scheitel im Mittelpunkt des Kreises, und sein Maß entspricht dem Bogen, den er überspannt. Ein Peripheriewinkel hat seinen Scheitel auf dem Kreisumfang, überspannt denselben Bogen und ist laut Satz genau halb so groß wie der Zentriwinkel.
Überspannt also ein Zentriwinkel von 80 Grad einen Bogen, so misst jeder Peripheriewinkel über diesem Bogen 40 Grad — gleichgültig, wo auf dem übrigen Umfang der Scheitel liegt. Da die Beziehung ein exakter Faktor zwei ist, wird das Ergebnis auf sechs Dezimalstellen ohne Rundungsüberraschungen zurückgegeben.
Winkel im Halbkreis und Sehnenvierecke
Zwei klassische Folgerungen ergeben sich direkt aus dem Peripheriewinkelsatz. Der Satz des Thales besagt, dass jeder Winkel im Halbkreis ein rechter Winkel ist: Da der Bogen der halbe Kreis ist, beträgt der Zentriwinkel 180 Grad und der Peripheriewinkel genau 90. Deshalb ist ein Dreieck, das von den beiden Enden eines Durchmessers zu einem beliebigen dritten Punkt auf dem Kreis gezogen wird, stets rechtwinklig.
Der Sehnenviereckssatz besagt: Liegen alle vier Eckpunkte eines Vierecks auf einem Kreis, ist jedes Paar gegenüberliegender Winkel supplementär — die Summe beträgt 180 Grad. Bei einem gegebenen Winkel von 110 Grad muss der Gegenwinkel 70 betragen. Diese beiden Ergebnisse wirken wie Zufälle, bis man erkennt, dass sie dieselbe Halbierungsregel auf Bögen anwenden, die zusammen einen ganzen Kreis ergeben.
Tangenten, Sehnen und der Gegenbogen
Tangenten liefern zwei weitere Regeln, die in Aufgaben ständig auftauchen. Zweitens besagt der Peripheriewinkelsatz für den Gegenbogen, dass der Winkel zwischen Tangente und Sehne durch den Berührpunkt gleich dem Peripheriewinkel im Gegenbogen ist, dem Teil des Kreises auf der anderen Seite der Sehne. Beträgt der Peripheriewinkel im Gegenbogen 55 Grad, so beträgt auch der Tangenten-Sehnen-Winkel 55 Grad.
Diese Regeln übertragen Informationen über die Kreisgrenze hinweg, von äußeren Geraden zu inneren Winkeln und zurück.
Anwendungsfälle
Geometrie-Hausaufgaben lösen
Bei einem Zentriwinkel von 80 Grad erhalten Sie sofort den Peripheriewinkel von 40 Grad — mit Angabe der Regel, damit Sie Ihre Begründung zeigen können.
CAD- oder Technische Zeichnung prüfen
Verifizieren Sie, dass ein Winkel im Halbkreis exakt 90 Grad beträgt oder dass eine Tangente den Radius im rechten Winkel trifft.
Ein Sehnenviereck vervollständigen
Berechnen Sie aus einem bekannten Winkel den supplementären Gegenwinkel, um zu bestätigen, dass die vier Eckpunkte tatsächlich auf einem Kreis liegen.
Häufige Fragen
Was kostet das?
Auf dieser Seite läuft der Rechner außerdem kostenlos in Ihrem Browser.
Welche Einheiten werden verwendet?
Grad. Der Eingabewert muss eine nicht-negative endliche Zahl sein, und das Ergebnis wird in Grad auf sechs Dezimalstellen gerundet zurückgegeben.
Ist die Berechnung deterministisch?
Ja. Es ist reine Arithmetik ohne Zufall, ohne Uhr und ohne Netzwerkzugriff; dieselbe Eingabe liefert daher stets dasselbe Ergebnis.
Wie berechne ich den gegenüberliegenden Winkel im Sehnenviereck?
Ziehen Sie den bekannten Winkel von 180 Grad ab. Liegen alle vier Ecken auf einem Kreis, ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu 180, ein Winkel von 110 Grad liegt also einem von 70 gegenüber.
Was besagt der Sehnen-Tangenten-Winkelsatz?
Der Winkel zwischen einer Tangente und einer Sehne im Berührpunkt ist so groß wie der Peripheriewinkel auf der anderen Seite der Sehne. Misst dieser 55 Grad, beträgt auch der Winkel zwischen Tangente und Sehne 55 Grad.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"theorem":"inscribed_angle","value":80}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"theorem": "inscribed_angle",
"value": 80
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"theorem": "inscribed_angle",
"value": 80
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"theorem":"inscribed_angle","value":80}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"theorem":"inscribed_angle","value":80}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"theorem": "inscribed_angle",
"value": 80
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.circle_theorems",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Diese API nimmt den Namen eines Satzes und einen gegebenen Winkel oder Bogen in Grad entgegen und liefert den gesuchten Winkel in einem einzigen deterministischen Aufruf — dieselbe Rechnung, die Sie auf Papier ausführen würden, exakt und sofort, ohne Geometriesoftware und ohne Rätselraten, welche Regel gilt.
Peripherie- und Zentriwinkel
Der Kreissatz-Rechner rechnet in beide Richtungen: Wählen Sie inscribed_angle mit einem Zentriwinkel oder Bogenmaß, um den Peripheriewinkel zu erhalten, oder central_angle mit einem Peripheriewinkel, um Zentriwinkel und Bogen zurückzugewinnen. Dieses Paar deckt den Großteil der Schul- und Prüfungsaufgaben ab und ist auch dann gefragt, wenn Bögen aus gemessenen Winkeln in der Vermessung, in CAD-Skizzen und in astronomischen Diagrammen rekonstruiert werden.
Winkel im Halbkreis und Sehnenvierecke
Wählen Sie angle_in_semicircle oder cyclic_quadrilateral, und der Endpunkt wendet die Regel für Sie an — praktisch beim Prüfen einer Konstruktion, beim Nachweis, dass vier Punkte auf einem Kreis liegen, oder beim Berechnen der fehlenden Ecke eines einem Kreis einbeschriebenen Vierecks.
Tangenten, Sehnen und der Gegenbogen
Erstens steht eine Tangente senkrecht auf dem Radius zum Berührpunkt; der Satz tangent_radius liefert daher immer 90 Grad — eine Tatsache, die zum Auffinden von Mittelpunkten und zum Konstruieren von Senkrechten in der Technischen Zeichnung genutzt wird. Die API akzeptiert das gegebene Maß als nicht-negative endliche Zahl in Grad und antwortet deterministisch, sodass dieselbe Anfrage stets dasselbe Ergebnis liefert — kostenlos in Ihrem Browser oder über die API für $0.002 pro Aufruf, wenn Sie sie automatisieren.
Technische Fragen
Welche Sätze werden unterstützt?
Sechs: inscribed_angle, central_angle, angle_in_semicircle, cyclic_quadrilateral, tangent_chord und tangent_radius.
Warum benötigen angle_in_semicircle und tangent_radius trotzdem einen Wert?
Sie liefern immer 90 Grad, aber das Eingabeschema verlangt eine gültige nicht-negative Zahl, damit fehlerhafte Anfragen einheitlich abgelehnt werden.
Was passiert bei ungültiger Eingabe?
Die Anfrage wird mit dem Fehler invalid_input abgelehnt — etwa wenn der Wert negativ ist, keine Zahl darstellt oder der Satzname unbekannt ist — und es entstehen keine Kosten.