Teoremas do círculo
Digite um ângulo e escolha o teorema: um ângulo central de 80 graus dá um ângulo inscrito de 40 sobre o mesmo arco. Também resolve quadriláteros cíclicos, o semicírculo, as tangentes e o segmento alterno. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Valor
- 80
- Teorema
- Inscribed angle
- Resultado (graus)
- 40
Os teoremas da circunferência conectam ângulos e arcos: um ângulo inscrito é a metade do ângulo central sobre o mesmo arco, os ângulos opostos de um quadrilátero cíclico somam 180 graus, um ângulo inscrito em um semicírculo é sempre 90, e o ângulo entre uma tangente e uma corda é igual ao ângulo do segmento alterno.
Ângulos inscritos e centrais
O teorema da circunferência mais usado relaciona duas formas de olhar o mesmo arco. Um ângulo central tem o vértice no centro da circunferência e sua medida é igual ao arco que ele intercepta. Um ângulo inscrito tem o vértice sobre a circunferência, intercepta o mesmo arco, e o teorema garante que ele é exatamente a metade do ângulo central.
Assim, se um ângulo central de 80 graus subentende um arco, qualquer ângulo inscrito que subentenda esse mesmo arco mede 40 graus — não importa onde o vértice esteja no restante da circunferência. Esse par cobre a maioria dos problemas de lição de casa e de provas, e também é o que você precisa ao reconstruir arcos a partir de ângulos medidos em topografia, esboços de CAD e diagramas de astronomia.
Como a relação é um fator exato de dois, o resultado é devolvido com seis casas decimais, sem surpresas de arredondamento.
Ângulos em semicírculos e quadriláteros cíclicos
Dois corolários clássicos decorrem diretamente do teorema do ângulo inscrito. O teorema de Tales afirma que todo ângulo inscrito em um semicírculo é reto: como o arco é metade da circunferência, o ângulo central é 180 graus e o ângulo inscrito é exatamente 90. É por isso que um triângulo traçado das duas extremidades de um diâmetro até qualquer terceiro ponto da circunferência é sempre retângulo.
O teorema do quadrilátero cíclico diz que, quando os quatro vértices de um quadrilátero estão sobre uma circunferência, cada par de ângulos opostos é suplementar — eles somam 180 graus. Dado um ângulo de 110 graus, o ângulo oposto deve ser 70. Esses dois resultados parecem coincidências até você perceber que são a mesma regra da metade aplicada a arcos que juntos formam uma circunferência inteira.
Tangentes, cordas e o segmento alterno
As tangentes acrescentam mais duas regras que aparecem constantemente nos problemas. Segundo, o teorema do segmento alterno afirma que o ângulo entre uma tangente e uma corda que passa pelo ponto de contato é igual ao ângulo inscrito no segmento alterno, a parte da circunferência do outro lado da corda. Dado um ângulo inscrito de 55 graus no segmento alterno, o ângulo entre tangente e corda também é 55 graus.
Essas regras permitem transportar informações através da fronteira da circunferência, das retas externas para os ângulos internos e vice-versa.
Casos de uso
Resolva a lição de geometria
Dado um ângulo central de 80 graus, obtenha o ângulo inscrito de 40 graus na hora, com a regra explicada para que você possa mostrar seu raciocínio.
Confira um desenho de CAD ou técnico
Verifique se um ângulo inscrito em um semicírculo é exatamente 90 graus, ou se uma tangente encontra o raio em ângulo reto.
Complete um quadrilátero cíclico
A partir de um ângulo conhecido, calcule o ângulo oposto suplementar para confirmar que os quatro vértices realmente estão sobre uma circunferência.
Perguntas frequentes
Quanto custa?
Também é grátis executar no seu navegador nesta página.
Quais unidades ele usa?
Graus. O valor de entrada deve ser um número finito não negativo e o resultado é devolvido em graus, arredondado para seis casas decimais.
O cálculo é determinístico?
Sim. É aritmética pura, sem aleatoriedade, sem relógio e sem acesso à rede, de modo que a mesma entrada sempre gera a mesma saída.
Como calculo o ângulo oposto em um quadrilátero cíclico?
Subtraia o ângulo conhecido de 180 graus. Quando os quatro vértices estão sobre a circunferência, os ângulos opostos somam 180, então um ângulo de 110 graus tem à sua frente um de 70.
O que diz o teorema do segmento alterno?
Que o ângulo entre uma tangente e uma corda no ponto de contato é igual ao ângulo inscrito do outro lado da corda. Se esse ângulo inscrito mede 55 graus, o ângulo entre a tangente e a corda também mede 55.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"theorem":"inscribed_angle","value":80}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"theorem": "inscribed_angle",
"value": 80
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"theorem": "inscribed_angle",
"value": 80
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"theorem":"inscribed_angle","value":80}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"theorem":"inscribed_angle","value":80}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/circle-theorems", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"theorem": "inscribed_angle",
"value": 80
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.circle_theorems",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Esta API recebe o nome de um teorema e a medida de um ângulo ou arco em graus, e devolve o ângulo solicitado em uma única chamada determinística — o mesmo cálculo que você faria no papel, feito com exatidão e de forma instantânea, sem software de geometria e sem dúvidas sobre qual regra aplicar.
Ângulos inscritos e centrais
A calculadora de teoremas da circunferência faz isso nos dois sentidos: escolha inscribed_angle com um ângulo central ou medida de arco para obter o ângulo inscrito, ou escolha central_angle com um ângulo inscrito para recuperar o ângulo central e o arco.
Ângulos em semicírculos e quadriláteros cíclicos
Selecione angle_in_semicircle ou cyclic_quadrilateral e o endpoint aplica a regra para você, o que é útil ao conferir uma construção, validar que quatro pontos são concíclicos ou encontrar o vértice que falta em um quadrilátero inscrito em uma circunferência.
Tangentes, cordas e o segmento alterno
Primeiro, uma reta tangente é perpendicular ao raio traçado até o ponto de tangência, de modo que o teorema tangent_radius sempre devolve 90 graus — um fato usado para localizar centros e construir perpendiculares no desenho técnico. A API aceita a medida informada como um número finito não negativo em graus e responde de forma determinística, de modo que a mesma solicitação sempre produz o mesmo resultado — grátis no seu navegador, ou via API a US$ 0,002 por chamada quando você a automatiza.
Perguntas técnicas
Quais teoremas são suportados?
Seis: inscribed_angle, central_angle, angle_in_semicircle, cyclic_quadrilateral, tangent_chord e tangent_radius.
Por que angle_in_semicircle e tangent_radius ainda precisam de um valor?
Eles sempre devolvem 90 graus, mas o esquema de entrada exige um número válido não negativo para que solicitações malformadas sejam rejeitadas de forma consistente.
O que acontece com uma entrada inválida?
A solicitação é rejeitada com um erro invalid_input — por exemplo, quando o valor é negativo, não é um número ou o nome do teorema é desconhecido — e você não é cobrado.