Calculateur de système d'inéquations linéaires

Un système d'inéquations linéaires est une liste de demi-plans dans le plan coordonné, chacun écrit sous la forme a x plus b y comparé à une constante. Leur intersection commune est la région admissible : un polygone convexe, un ensemble convexe non borné, ou l'ensemble vide lorsque les coupes se contredisent. Ce calculateur de système d'inéquations linéaires accepte deux lignes ou plus de la forme a x plus b y comparé à c, renvoie chaque droite frontière (y compris les cas vertical et horizontal) et dresse la liste des sommets où ces droites se rencontrent dans la région admissible fermée. Les élèves utilisent ces sommets comme coins du graphique hachuré ; les carnets de programmation linéaire les utilisent comme optima candidats d'un objectif linéaire. Le moteur est pur et déterministe : l'élimination de Fourier–Motzkin décide du vide, les intersections deux à deux produisent des sommets candidats, et un test d'angle des normales décide si la région est un polygone borné.

Ce qu'un système plan signifie et quels sommets le calculateur signale

Chaque inéquation a x plus b y comparée à c est un demi-plan fermé ou ouvert dont le bord est la droite a x plus b y égale c. Un bord vertical apparaît lorsque le coefficient de y est nul, un bord horizontal lorsque le coefficient de x est nul, et un bord incliné dans les autres cas, avec une pente égale à moins a sur b et une ordonnée à l'origine égale à c sur b.

La région admissible est l'ensemble des points qui satisfont toutes les inéquations à la fois. Comme une intersection finie de demi-plans est un polyèdre convexe dans le plan, sa géométrie est entièrement décrite par les droites d'appui et par les sommets où deux de ces droites ou plus se rencontrent tout en respectant le reste du système.

Ce calculateur signale ces coins géométriques de la région fermée : un strictement-inférieur est traité comme inférieur-ou-égal lors du recueil des sommets, conformément au graphique de classe en trait plein ou en pointillés, où les coins du hachurage restent les mêmes points même si un bord en pointillés les exclut de l'ensemble ouvert.

Lorsque les inéquations forment un triangle dans le premier quadrant, par exemple x plus y au plus six avec x au moins zéro et y au moins zéro, les trois sommets sont l'origine, le point six virgule zéro et le point zéro virgule six. Lorsque les mêmes coupes du premier quadrant sont associées à une borne inférieure telle que x plus y au moins un, la région n'est pas bornée et les sommets se réduisent aux deux points où la droite inclinée rencontre les axes.

Une liste inconsistante, par exemple x au moins deux, y au moins deux et x plus y au plus un, a une région admissible vide et donc aucun sommet. Les deux coefficients d'une ligne doivent être non nuls en paire : a et b ne peuvent s'annuler ensemble, car l'énoncé ne définirait alors pas une droite dans le plan.

Contrat d'entrée, champs de frontière et décision du vide et du caractère borné

Chaque objet exige les nombres finis a, b et c ainsi qu'un opérateur de comparaison op. L'opérateur peut être les symboles inférieur, inférieur-ou-égal, supérieur et supérieur-ou-égal, ou les codes courts lt, le, gt et ge, y compris les signes unicode inférieur-ou-égal et supérieur-ou-égal. Les sommets reviennent dans l'ordre antihoraire autour de leur centroïde, chacun avec des coordonnées arrondies à douze décimales et un tableau lines d'indices à base un des arêtes qui passent par le point.

Le champ region vaut polygon lorsque l'ensemble est un polygone borné non vide, unbounded lorsqu'il est non vide et s'éloigne à l'infini, et empty lorsque l'élimination de Fourier–Motzkin prouve que les demi-plans n'ont aucun point commun. Le caractère borné se décide par le cône de récession : la région fermée n'est un polygone que lorsque les normales extérieures des contraintes entourent l'origine, de sorte que la seule direction qui reste admissible pour toujours est le vecteur nul.

Associez cette charge utile à votre propre traceur si vous avez besoin d'un croquis ; le point d'accès n'émet ni images ni prose pas à pas au-delà de la chaîne formula.

Où les systèmes d’inéquations linéaires servent

Les salles d'algèbre et les plateformes de tutorat graphe les systèmes en traçant chaque frontière et en hachurant l'intersection ; un point d'accès qui renvoie les mêmes sommets que l'enseignant marque au tableau permet à l'élève de vérifier un graphique à la main sans système de calcul formel. Les générateurs d'épreuves ont besoin d'un oracle déterministe qui distingue un triangle, une région non bornée du premier quadrant et une contradiction vide, plutôt qu'une liste de succès vide qu'un correcteur défectueux pourrait traiter comme une réussite.

Les carnets de recherche opérationnelle qui enseignent la méthode graphique de la programmation linéaire évaluent un objectif linéaire en ces sommets exacts ; alimenter le calculateur depuis un script produit des tables de sommets reproductibles pour les cours et les tests unitaires. Les planificateurs de produit et de capacité encodent budget, non-négativité et limites de mélange sous la forme a x plus b y comparé à c et veulent la liste des sommets avant d'attacher un objectif.

Gardez le nombre de lignes petit, figez les sommets arrondis dans les tests, et vous obtenez une géométrie reproductible de la région admissible pour les devoirs, les greffons LMS et les workers de bord, sans dresser un solveur symbolique de votre cru.