Calculadora de sistemas de desigualdades lineales

Un sistema de desigualdades lineales es una lista de semipianos en el plano coordenado, cada uno escrito como a x más b y comparado con una constante. Su intersección común es la región factible: un polígono convexo, un conjunto convexo no acotado, o el conjunto vacío cuando los cortes se contradicen. Esta calculadora de sistemas de desigualdades lineales acepta dos o más filas de la forma a x más b y comparado con c, devuelve cada recta frontera (incluidos los casos vertical y horizontal) y enumera los vértices donde esas rectas se encuentran dentro de la región factible cerrada. Los estudiantes usan esos vértices como esquinas de la gráfica sombreada; los cuadernos de programación lineal los usan como óptimos candidatos de un objetivo lineal. El motor es puro y determinista: la eliminación de Fourier–Motzkin decide el vacío, las intersecciones por pares producen vértices candidatos, y una prueba del ángulo de las normales decide si la región es un polígono acotado.

Qué significa un sistema plano y qué vértices informa la calculadora

Cada desigualdad a x más b y comparada con c es un semipiano cerrado o abierto cuyo borde es la recta a x más b y igual a c. Aparece un borde vertical cuando el coeficiente de y es cero, un borde horizontal cuando el coeficiente de x es cero, y un borde con pendiente en cualquier otro caso, con pendiente igual a menos a entre b e intersección con el eje y igual a c entre b.

La región factible es el conjunto de puntos que satisfacen todas las desigualdades a la vez. Como una intersección finita de semipianos es un poliedro convexo en el plano, su geometría queda descrita por completo por las rectas de apoyo y por los vértices donde dos o más de esas rectas se cortan sin dejar de obedecer el resto del sistema.

Esta calculadora informa esos vértices geométricos de la región cerrada: un menor-que estricto se trata como menor-o-igual al recoger vértices, igual que en la gráfica de aula con trazo continuo o discontinuo, donde las esquinas del sombreado siguen siendo los mismos puntos aunque un borde discontinuo los excluya del conjunto abierto.

Cuando las desigualdades forman un triángulo en el primer cuadrante, por ejemplo x más y a lo sumo seis junto con x al menos cero e y al menos cero, los tres vértices son el origen, el punto seis coma cero y el punto cero coma seis. Cuando esos mismos cortes del primer cuadrante se combinan con una cota inferior como x más y al menos uno, la región no está acotada y los vértices son solo los dos puntos donde la recta inclinada corta los ejes.

Una lista inconsistente, por ejemplo x al menos dos, y al menos dos y x más y a lo sumo uno, tiene región factible vacía y por tanto ningún vértice. Ambos coeficientes de una fila deben ser no nulos como pareja: a y b no pueden anularse a la vez, porque entonces el enunciado no definiría una recta en el plano.

Contrato de entrada, campos de frontera y cómo se deciden el vacío y la acotación

Cada objeto necesita los números finitos a, b y c y un operador de comparación op. El operador puede ser los símbolos menor, menor-o-igual, mayor y mayor-o-igual, o los códigos cortos lt, le, gt y ge, incluidos los signos unicode de menor-o-igual y mayor-o-igual. Los vértices se devuelven en orden antihorario alrededor de su centroide, cada uno con coordenadas redondeadas a doce decimales y un arreglo lines de índices basados en uno de las aristas que pasan por el punto.

El campo region vale polygon cuando el conjunto es un polígono acotado no vacío, unbounded cuando es no vacío y se aleja al infinito, y empty cuando la eliminación de Fourier–Motzkin demuestra que los semipianos no tienen punto común. La acotación se decide por el cono de recesión: la región cerrada es un polígono solo cuando las normales exteriores de las restricciones rodean el origen, de modo que la única dirección que permanece factible para siempre es el vector cero.