Rechner für lineare Ungleichungssysteme

Ein lineares Ungleichungssystem ist eine Liste von Halbebenen in der Koordinatenebene, jede geschrieben als a x plus b y verglichen mit einer Konstanten. Ihr gemeinsamer Schnitt ist der zulässige Bereich: ein konvexes Polygon, eine unbeschränkte konvexe Menge oder die leere Menge, wenn sich die Schnitte widersprechen. Dieser Rechner für lineare Ungleichungssysteme nimmt zwei oder mehr Zeilen der Form a x plus b y verglichen mit c entgegen, liefert jede Begrenzungsgerade (einschließlich senkrechter und waagerechter Sonderfälle) und listet die Eckpunkte, an denen sich diese Geraden innerhalb des abgeschlossenen zulässigen Bereichs treffen. Lernende nutzen die Ecken als Knoten der schraffierten Grafik; Hefte der linearen Optimierung nutzen dieselben Punkte als Kandidatenoptima eines linearen Ziels. Die Engine ist rein und deterministisch: die Fourier–Motzkin-Elimination entscheidet über die Leere, paarweise Geradenschnitte erzeugen Kandidatenecken, und ein Normalenwinkeltest entscheidet, ob der Bereich ein beschränktes Polygon ist.

Was ein ebenes System bedeutet und welche Ecken der Rechner meldet

Jede Ungleichung a x plus b y verglichen mit c ist eine abgeschlossene oder offene Halbebene, deren Rand die Gerade a x plus b y gleich c ist. Ein senkrechter Rand entsteht, wenn der Koeffizient von y null ist, ein waagerechter Rand, wenn der Koeffizient von x null ist, und sonst ein geneigter Rand mit Steigung minus a durch b und y-Achsenabschnitt c durch b. Der zulässige Bereich ist die Menge der Punkte, die alle Ungleichungen zugleich erfüllen.

Weil ein endlicher Schnitt von Halbebenen ein konvexes Polyeder in der Ebene ist, wird seine Geometrie vollständig durch die Stützgeraden und durch die Ecken beschrieben, an denen sich zwei oder mehr dieser Geraden treffen und dennoch dem Rest des Systems gehorchen. Dieser Rechner meldet genau jene geometrischen Ecken des abgeschlossenen Bereichs: ein striktes Kleiner-als wird beim Sammeln der Ecken wie Kleiner-oder-gleich behandelt, passend zur Klassenraumgrafik mit durchgezogenem oder gestricheltem Strich, in der die Ecken der Schraffur dieselben Punkte bleiben, selbst wenn ein gestrichelter Rand sie aus der offenen Menge ausschließt.

Bilden die Ungleichungen ein Dreieck im ersten Quadranten, etwa x plus y höchstens sechs zusammen mit x mindestens null und y mindestens null, so sind die drei Ecken der Ursprung, der Punkt sechs Komma null und der Punkt null Komma sechs. Werden dieselben Schnitte des ersten Quadranten mit einer unteren Schranke wie x plus y mindestens eins gepaart, ist der Bereich unbeschränkt und die Ecken sind nur die zwei Punkte, an denen die schräge Gerade die Achsen trifft.

Eine widersprüchliche Liste, etwa x mindestens zwei, y mindestens zwei und x plus y höchstens eins, hat einen leeren zulässigen Bereich und daher keine Ecken. Beide Koeffizienten einer Zeile müssen als Paar von null verschieden sein: a und b dürfen nicht gemeinsam verschwinden, weil die Aussage dann keine Gerade in der Ebene definieren würde.

Eingabevertrag, Randfelder und wie Leere und Beschränktheit entschieden werden

Jedes Objekt braucht die endlichen Zahlen a, b und c sowie einen Vergleichsoperator op. Der Operator darf die Symbole kleiner, kleiner-oder-gleich, größer und größer-oder-gleich sein oder die Kurzcodes lt, le, gt und ge, einschließlich der Unicode-Zeichen für kleiner-oder-gleich und größer-oder-gleich. Die Ecken kommen im Gegenuhrzeigersinn um ihren Schwerpunkt zurück, jede mit auf zwölf Dezimalstellen gerundeten Koordinaten und einem lines-Array der einsbasierten Indizes der Kanten, die durch den Punkt laufen.

Das Feld region ist polygon, wenn die Menge ein nichtleeres beschränktes Polygon ist, unbounded, wenn sie nichtleer ist und ins Unendliche entweicht, und empty, wenn die Fourier–Motzkin-Elimination beweist, dass die Halbebenen keinen gemeinsamen Punkt haben. Die Beschränktheit entscheidet der Rezessionskegel: der abgeschlossene Bereich ist nur dann ein Polygon, wenn die äußeren Normalen der Nebenbedingungen den Ursprung umschließen, sodass die einzige Richtung, die für immer zulässig bleibt, der Nullvektor ist.

Koppeln Sie diese Nutzlast mit Ihrem eigenen Zeichner, wenn Sie eine Skizze brauchen; der Endpunkt liefert weder Bilder noch Schritt-für-Schritt-Prosa jenseits der Formelzeichenkette formula.

Wo lineare Ungleichungssysteme helfen

Algebraunterricht und Nachhilfeplattformen zeichnen Systeme, indem sie jeden Rand ziehen und den Schnitt schraffieren; ein Endpunkt, der dieselben Ecken zurückgibt, die die Lehrkraft an der Tafel markiert, lässt Lernende eine Handgrafik prüfen, ohne ein Computeralgebrasystem. Prüfungsgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das ein Dreieck, einen unbeschränkten Bereich im ersten Quadranten und einen leeren Widerspruch unterscheidet, statt einer leeren Erfolgsliste, die ein fehlerhafter Bewerter als bestanden werten könnte.

Hefte des Operations Research, die das grafische Verfahren der linearen Optimierung lehren, werten ein lineares Ziel genau an diesen Ecken aus; speist man den Rechner aus einem Skript, entstehen reproduzierbare Eckentabellen für Vorlesungen und Einheitstests. Produkt- und Kapazitätsplaner kodieren Budget, Nichtnegativität und Mischgrenzen als a x plus b y verglichen mit c und wollen die Eckenliste, bevor sie ein Ziel anhängen.

Halten Sie die Zeilenzahl klein, pinnen Sie die gerundeten Ecken in Tests und Sie erhalten reproduzierbare Geometrie des zulässigen Bereichs für Hausaufgaben, LMS-Erweiterungen und Rand-Worker, ohne einen eigenen symbolischen Löser aufzustellen.