Contraintes principales 2D

Ce que le cercle de Mohr rapporte pour un élément en contrainte plane

Les identités supposent une contrainte plane bidimensionnelle ou la partie dans le plan d’un problème de déformation plane ; elles ne calculent pas une troisième principale d’un tenseur tridimensionnel, n’appliquent pas les critères de von Mises ni de Tresca et ne convertissent pas les unités. Inverser le signe du cisaillement change l’angle principal, mais pas les deux grandeurs, car le cisaillement n’entre dans le rayon qu’au carré. Un point matériel en contrainte plane se décrit par trois composantes dans le plan : la contrainte normale sur la face x, sigma_x ; la contrainte normale sur la face y, sigma_y ; et le cisaillement complémentaire tau_xy. Ces trois nombres ne restent pas figés lorsque vous faites tourner l’élément d’inspection. À une certaine orientation le cisaillement s’annule et les contraintes normales restantes atteignent leurs valeurs extrêmes : ces bornes sont les contraintes principales sigma_1 (la plus grande algébriquement) et sigma_2 (la plus petite algébriquement). À mi-chemin sur le cercle de Mohr, à quarante-cinq degrés des axes principaux dans l’espace physique, le cisaillement dans le plan atteint sa grandeur maximale tau_max. La même géométrie s’écrit sans tracer le cercle : le centre se situe à la moyenne de sigma_x et sigma_y, le rayon est la racine carrée du demi-écart au carré des normales plus le cisaillement au carré, les principales sont le centre plus et moins ce rayon, et tau_max est égal à ce rayon. Quiconque cherche une calculatrice de contraintes principales 2d, un cercle de Mohr, des contraintes principales en contrainte plane ou le cisaillement maximal dans le plan possède déjà ces trois composantes — d’une rosette, d’une requête d’éléments finis ou d’un énoncé — et veut les extrêmes dans un contrat JSON stable. Conservez sigma_x, sigma_y et tau_xy dans une seule unité de contrainte cohérente — mégapascals, livres par pouce carré ou pascals — et les principales et le cisaillement renvoyés partagent cette unité. La convention de signes suit l’énoncé habituel de la mécanique des milieux continus : une contrainte normale positive est une traction, et un tau_xy positif est le cisaillement sur la face x positive dans la direction y positive.

Comment cette calculatrice valide l’entrée et applique les identités de Mohr

Un état hydrostatique ou déjà principal, où les deux normales sont égales et le cisaillement est nul, rapporte des principales égales, un rayon nul et un angle principal de zéro degré. Il n’y a ni conversion d’unités, ni image du graphique, ni résolution d’une valeur propre tridimensionnelle, ni couche de critère de plasticité ; seulement l’évaluation pure du cercle de Mohr d’un élément 2D. Envoyez un corps JSON avec les trois champs obligatoires sigma_x, sigma_y et tau_xy. Chaque champ doit être un nombre fini ou une chaîne numérique qui s’interprète comme tel ; les champs manquants, les chaînes vides, le texte non numérique, NaN et Infinity échouent immédiatement avec invalid_input avant tout résultat, et une validation échouée n’est pas facturée. Des alias facultatifs tels que sx, sy, txy, stress_x, stress_y, shear_xy, sigmax, sigmay, tau, shear, sigma_xx, sigma_yy, sxx, syy et tauxy sont acceptés lorsqu’ils sont documentés, afin que formulaires et scripts puissent utiliser les symboles du cours. Après validation, le moteur calcule le centre du cercle de Mohr comme la moyenne des deux normales, le rayon comme la norme euclidienne du demi-écart et du cisaillement, les principales comme le centre plus et moins ce rayon, et l’angle theta_p en degrés comme la moitié de atan2 du double du cisaillement sur la différence des normales. Cette forme atan2 choisit l’orientation de la principale algébriquement plus grande sans branche supplémentaire : en substituant l’angle double obtenu dans les équations de transformation, on retrouve sigma_1 par construction. Il n’y a pas de division par zéro dans ces identités, de sorte que tout triplet fini produit un résultat défini ; les bornes de grandeur n’existent que pour garder finis les produits intermédiaires sur un isolate Worker. Les résultats sont arrondis à une précision stable de douze chiffres significatifs afin que la même entrée produise toujours le même JSON sur les moteurs JavaScript. La même fonction pure alimente l’outil dans le navigateur et le chemin API, sans réseau, sans graine aléatoire et sans horloge murale dans le calcul.

Usage pratique, limites, tarif et différences avec F/A et My/I

Utilisez l’API lorsqu’un script, une plateforme de cours ou un carnet a besoin d’un JSON stable pour de nombreux triplets sigma_x, sigma_y, tau_xy sous un seul contrat. Chaque requête réussie est un élément facturable à $0.002 ; une validation échouée ne consomme pas le solde. Les résultats sont pleinement déterministes : des entrées identiques produisent toujours les mêmes principales, le même tau_max et les mêmes libellés de formule et de méthode. Branchez le point d’accès à des exercices de mécanique, des correcteurs de concours, des feuilles de dimensionnement préliminaire ou des étapes de prétraitement où vous préférez des erreurs de domaine explicites — comme le rejet d’un sigma_x manquant — à des widgets opaques qui n’expliquent pas pourquoi une mauvaise entrée a été refusée.