Calculateur de moyenne et variance binomiales

Une loi binomiale décrit le nombre de succès obtenus au cours d’un nombre fixe d’essais indépendants ayant tous la même probabilité de réussite. Ce calculateur reçoit le nombre d’essais n et la probabilité p, puis fournit la moyenne, la variance et l’écart-type. Vous pouvez ainsi vérifier un exercice, préparer une expérience, résumer des événements répétés à deux issues ou obtenir les valeurs nécessaires à une analyse statistique sans établir toute la table des probabilités.

Saisissez correctement les essais et la probabilité

Commencez par le nombre d’essais, noté n. Il doit s’agir d’un entier positif ou nul, car une expérience binomiale ne comporte jamais une fraction d’essai. Indiquez ensuite p, la probabilité de succès à chaque essai, sous forme décimale entre 0 et 1, bornes comprises.

Par exemple, saisissez 0.35 pour 35 pour cent, et non 35. Le modèle suppose que le nombre d’essais est fixé à l’avance, que chaque essai n’a que deux issues pertinentes, que les essais sont indépendants et que la probabilité reste constante. Des lancers de pièce, des produits déclarés conformes ou non, ou des clients qui répondent ou non peuvent convenir si les observations ne s’influencent pas.

Un tirage de cartes sans remise ne convient généralement pas, puisque p change après chaque carte. Toute valeur inférieure à 0 ou supérieure à 1 est rejetée afin de signaler immédiatement une erreur de saisie ou d’échelle.

Interprétez les trois résultats

La moyenne correspond à n multiplié par p. Elle représente le nombre moyen de succès à long terme lorsque l’expérience complète est répétée de nombreuses fois, sans garantir le résultat d’une réalisation particulière. La variance vaut n multiplié par p puis par un moins p.

Elle mesure la dispersion en unités de succès au carré, pratiques dans les formules mais moins naturelles à lire. L’écart-type est la racine carrée de la variance et exprime donc la dispersion dans la même unité que le nombre de succès. Pour 20 essais et p égal à 0.35, la moyenne situe le centre attendu et l’écart-type indique l’écart habituel autour de ce centre.

Si p vaut 0 ou 1, l’issue est certaine et les deux mesures de dispersion sont nulles. Pour n fixe, la variance atteint son maximum à p égal à 0.5, lorsque succès et échec sont équiprobables. Ces propriétés constituent aussi des contrôles rapides du résultat.

Exploitez le résultat avec la prudence nécessaire

Ces moments résument la loi, mais ne remplacent pas la fonction de masse si vous recherchez la probabilité d’un nombre exact de succès ou d’un événement extrême. Employez la moyenne comme total attendu, la variance dans les formules associant des variables aléatoires indépendantes et l’écart-type comme mesure lisible de la dispersion. En contrôle qualité, la moyenne n’est pertinente que si p représente une probabilité de défaut stable.

Pour une campagne, elle n’est valable que si les réponses sont suffisamment indépendantes. Un écart important entre les observations et la dispersion calculée peut révéler une variation de p, une corrélation ou une autre violation des hypothèses binomiales. Conservez la précision lors des calculs intermédiaires et n’arrondissez que la présentation finale.

Le calcul est déterministe : il ne simule aucun résultat, n’estime pas p, ne construit pas d’intervalle de confiance et ne teste pas l’adéquation des données. L’incertitude propre à une estimation de p doit être analysée séparément.